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Função Quadrática: Imagem
Enviado: Dom 29 Jul, 2007 19:05
por demetrius
Seja a função [tex3]f: [-2, 2] \to \mathbb{R},[/tex3]
definida por [tex3]f(x) = -x^2-2x+3[/tex3]
. Determine o conjunto imagem de [tex3]f.[/tex3]
Re: Função Quadrática: Imagem
Enviado: Dom 29 Jul, 2007 20:48
por Alexandre_SC
Consideremos a função [tex3]g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},[/tex3]
definida por [tex3]g(x)=-x^2-2x+3.[/tex3]
Calculando os zeros de [tex3]g[/tex3]
(pontos de intrerseção com o eixo [tex3]x)[/tex3]
encontramos [tex3]x_1=-3[/tex3]
e [tex3]x_2=1.[/tex3]
Além disso,
- [tex3]\begin{array}{rl} g(x)&=-x^2-2x+3\\
&=-(x^2+2x-3) \\
&=-[(x+1)^2-1 -3] \\
&=4-(x+1)^2. \end{array}[/tex3]
Donde concluímos que [tex3]g[/tex3]
assume um máximo para [tex3]x=-1.[/tex3]
Este máximo vale [tex3]4.[/tex3]
Podemos então fazer o esboço do gráfico de [tex3]g:[/tex3]
- AD17.png (8.35 KiB) Exibido 715 vezes
Observando que o gráfico de [tex3]f[/tex3]
coincide com o gráfico de [tex3]g[/tex3]
para [tex3]x \in [-2,2],[/tex3]
concluímos que a imagem de [tex3]f[/tex3]
é o intervalo [tex3][f(2),4].[/tex3]
Como [tex3]f(2)=-2^2-2\cdot 2+3=-5, \text{ } Im_f=[-5,2].[/tex3]