Ensino Médio ⇒ Números Complexos: Forma Trigonométrica Tópico resolvido

[mawapa]

Como eu faço para achar todas as raízes de [tex3]x^4 + 16 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^4 + 16 = 0[/tex3]

Sei que [tex3]2i[/tex3]

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[tex3]2i[/tex3]

e [tex3]{-}2i[/tex3]

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[tex3]{-}2i[/tex3]

são raízes, e as outras?

[caju]

Olá Mawapa,

Primeiramente, [tex3]2i[/tex3]

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[tex3]2i[/tex3]

não é solução da questão, pois [tex3](2i)^4 = 16.[/tex3]

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[tex3](2i)^4 = 16.[/tex3]

Você deve utilizar a fórmula de Moivre para raízes de números complexo.

• [tex3]x=(-16+0\cdot i)^{\frac{1}{4}}[/tex3]

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  [tex3]x=(-16+0\cdot i)^{\frac{1}{4}}[/tex3]

Para aplicar a fórmula, devemos transformar o [tex3]{-}16[/tex3]

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[tex3]{-}16[/tex3]

na sua forma trigonométrica:

• [tex3]x=\left[16\cdot(\cos (180^{\circ})+i\cdot \sin (180^{\circ}))\right]^{\frac{1}{4}}[/tex3]

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  [tex3]x=\left[16\cdot(\cos (180^{\circ})+i\cdot \sin (180^{\circ}))\right]^{\frac{1}{4}}[/tex3]

Aplicamos a fórmula agora:

• [tex3]x=2\cdot \left[ \cos\left(\frac{180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}}{4}\right)\right][/tex3]

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  [tex3]x=2\cdot \left[ \cos\left(\frac{180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{180^{\circ}+k\cdot 360^{\circ}}{4}\right)\right][/tex3]

Agora, para encontrar cada uma das quatro raízes, fazemos o [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

ser [tex3]0, 1, 2[/tex3]

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[tex3]0, 1, 2[/tex3]

e [tex3]3.[/tex3]

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[tex3]3.[/tex3]

• [tex3]k=0,[/tex3]

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  [tex3]k=0,[/tex3]

  [tex3]x=\sqrt 2 +i\cdot \sqrt 2[/tex3]

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  [tex3]x=\sqrt 2 +i\cdot \sqrt 2[/tex3]

  
  
  [tex3]k=1,[/tex3]

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  [tex3]k=1,[/tex3]

  [tex3]x=-\sqrt 2 +i\cdot \sqrt 2[/tex3]

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  [tex3]x=-\sqrt 2 +i\cdot \sqrt 2[/tex3]

  
  
  [tex3]k=2,[/tex3]

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  [tex3]k=2,[/tex3]

  [tex3]x=-\sqrt 2 -i\cdot \sqrt 2[/tex3]

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  [tex3]x=-\sqrt 2 -i\cdot \sqrt 2[/tex3]

  
  
  [tex3]k=3,[/tex3]

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  [tex3]k=3,[/tex3]

  [tex3]x=\sqrt 2 -i\cdot \sqrt 2[/tex3]

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  [tex3]x=\sqrt 2 -i\cdot \sqrt 2[/tex3]

Estas são as quatro raízes.

Atenciosamente
Prof. Caju
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