Demonstração - Raízes de Uma Equação Quadrática
Enviado: 18 Dez 2012, 22:16
Demonstrar que a raízes de um polinômio do segundo grau [tex3]ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, 0[/tex3]
, sendo [tex3]a \, \neq \, 0, b, c \,\,\, \in \,\,\,\, \mathbb{R}[/tex3]
os coeficientes do polinômio, são dadas pela seguinte relação:
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Demonstração:
Considerando o polinômio do segundo grau dado, vamos utilizar a sua forma canônica:
[tex3]ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a}\right) \,\,\, \\ \\ \\ =\,\,\, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a} \, + \, \frac{b^{2}}{4a^{2}} \,- \, \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right) \, = \, a\left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, + \, \frac{4ac \, - \, b^{2}}{4a^{2}} \right] \, \\ \\ \\ = \, a \left[ \left(x \,+ \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right][/tex3]
Por definição, raízes de um polinômio [tex3]P\left(x\right)[/tex3] são os valores [tex3]x_{1}, x_{2}, x_{3} , x_{4} , ... , x_{n}[/tex3] para o qual [tex3]P\left(x\right) \,= \, 0[/tex3] . Logo, basta igualarmos a forma canônica a zero:
[tex3]a \left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right] \, = \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, = \, \frac{\Delta}{4a^{2}} \,\,\, \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \left| x \, + \frac{b}{2a}\right| \, = \, \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x \, + \, \frac{b}{2a} \, = \, \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \, \,\,\, x \, = \, \frac{- \, b \, \pm \, \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]
Com isso, existem dois valores [tex3]x_{1}, x_{2} \,\,\, \in \,\,\, \mathbb{R}[/tex3] que são raízes do polinômio e dado e são determinados por:
[tex3]\boxed{\boxed{x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}}} \,\,\,\,\,\,\,\, \operatorname{c.q.d}[/tex3]
--------------------------------------------------------------------------------------
Existem outras propriedades de um polinômio do segundo grau que podem ser também demonstradas de diversas formas. Por exemplo, podemos demontrar que todo polinômio do segundo grau pode ser escrito na forma:
[tex3]a \left(x \,- \, x_{1}\right)\left(x \, - \, x_{2}\right) \, = \, 0[/tex3]
Onde [tex3]x_{1}[/tex3] e [tex3]x_{2}[/tex3] são as raízes. Também podemos achar uma relação que envolve soma e produtos das raízes. Se alguém quiser demonstrar alguma relação que envolve equação do segundo grau, fique à vontade para postar aqui.
Um abraço!
[tex3]x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]
Onde [tex3]\Delta \, = \, b^{2} \, - \, 4ac[/tex3]
e [tex3]\Delta \, \geq \, 0[/tex3]
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Demonstração:
Considerando o polinômio do segundo grau dado, vamos utilizar a sua forma canônica:
[tex3]ax^{2} \, + \, bx \, + \, c \, = \, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a}\right) \,\,\, \\ \\ \\ =\,\,\, a \left(x^{2} \, + \, \frac{b}{a} x \, + \, \frac{c}{a} \, + \, \frac{b^{2}}{4a^{2}} \,- \, \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right) \, = \, a\left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, + \, \frac{4ac \, - \, b^{2}}{4a^{2}} \right] \, \\ \\ \\ = \, a \left[ \left(x \,+ \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right][/tex3]
Por definição, raízes de um polinômio [tex3]P\left(x\right)[/tex3] são os valores [tex3]x_{1}, x_{2}, x_{3} , x_{4} , ... , x_{n}[/tex3] para o qual [tex3]P\left(x\right) \,= \, 0[/tex3] . Logo, basta igualarmos a forma canônica a zero:
[tex3]a \left[ \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, - \frac{\Delta}{4a^{2}}\right] \, = \, 0 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, \left(x \, + \, \frac{b}{2a}\right)^{2} \, = \, \frac{\Delta}{4a^{2}} \,\,\, \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow \,\,\, \left| x \, + \frac{b}{2a}\right| \, = \, \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x \, + \, \frac{b}{2a} \, = \, \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\, \Rightarrow \, \,\,\, x \, = \, \frac{- \, b \, \pm \, \sqrt{\Delta}}{2a}[/tex3]
Com isso, existem dois valores [tex3]x_{1}, x_{2} \,\,\, \in \,\,\, \mathbb{R}[/tex3] que são raízes do polinômio e dado e são determinados por:
[tex3]\boxed{\boxed{x_{1} \, = \, \frac{- \, b \, + \, \sqrt{\Delta}}{2a} \,\,\,\, ,\,\,\,\,\, x_{2} \, = \, \frac{- \, b \, - \, \sqrt{\Delta}}{2a}}} \,\,\,\,\,\,\,\, \operatorname{c.q.d}[/tex3]
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Existem outras propriedades de um polinômio do segundo grau que podem ser também demonstradas de diversas formas. Por exemplo, podemos demontrar que todo polinômio do segundo grau pode ser escrito na forma:
[tex3]a \left(x \,- \, x_{1}\right)\left(x \, - \, x_{2}\right) \, = \, 0[/tex3]
Onde [tex3]x_{1}[/tex3] e [tex3]x_{2}[/tex3] são as raízes. Também podemos achar uma relação que envolve soma e produtos das raízes. Se alguém quiser demonstrar alguma relação que envolve equação do segundo grau, fique à vontade para postar aqui.
Um abraço!