MATEMÁTICA APLICADA ⇒ Sobre trigonometria Tópico resolvido

[lazcesar]

Sou desenvolvedor de Softwares. Em um projeto atual preciso de um fórmula para calcular o valor de "x" e do Ângulo "y", Sendo que as medidas "a", "b", "c" ,"d" e "e" eu tenho, de acordo com a imagem:

CalculoTriangulo.jpg (25.46 KiB) Exibido 2438 vezes

[caju]

Olá lazcesar,

Seja bem vindo ao fórum.

Sou engenheiro de computação de formação, já tive esses problemas que você vem enfrentando também

Bom, vou mostrar como eu solucionaria este problema:

Com os lados [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

, [tex3]c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b[/tex3]

, conseguimos encontrar o valor do ângulo [tex3]\angle CBD[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\angle CBD[/tex3]

através da lei dos cosenos:

[tex3]b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos(\angle CBD)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot\cos(\angle CBD)[/tex3]

Isolando o ângulo pretendido:

[tex3]\boxed{\angle CBD=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\angle CBD=\arccos\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}\right)}[/tex3]

Fazemos a mesma coisa para encontrar o ângulo ABD:

[tex3]e^2=d^2+c^2-2\cdot d\cdot c\cdot\cos(\angle ABD)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^2=d^2+c^2-2\cdot d\cdot c\cdot\cos(\angle ABD)[/tex3]

[tex3]\boxed{\angle ABD=\arccos\left(\frac{d^2+c^2-e^2}{2\cdot d\cdot c}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{\angle ABD=\arccos\left(\frac{d^2+c^2-e^2}{2\cdot d\cdot c}\right)}[/tex3]

Agora, com estes dois ângulos em mãos, podemos aplicar a lei dos cosenos no triângulo ABC e encontrar o valor de x:

[tex3]x^2=a^2+d^2-2\cdot a\cdot d\cdot\cos(\angle ABD+\angle CBD)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2=a^2+d^2-2\cdot a\cdot d\cdot\cos(\angle ABD+\angle CBD)[/tex3]

Isolando x:

[tex3]\boxed{{x=\sqrt{a^2+d^2-2\cdot a\cdot d\cdot\cos(\angle ABD+\angle CBD)}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{{x=\sqrt{a^2+d^2-2\cdot a\cdot d\cdot\cos(\angle ABD+\angle CBD)}}}[/tex3]

Com este valor de x nas mãos, podemos aplicar a lei dos cosenos no triângulo ABC novamente (mas agora em respeito ao lado a) e encontrar o ângulo y:

[tex3]a^2=d^2+x^2-2\cdot d\cdot x\cdot\cos(y)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2=d^2+x^2-2\cdot d\cdot x\cdot\cos(y)[/tex3]

Isolando y:

[tex3]\boxed{y=\arccos\left(\frac{d^2+x^2-a^2}{2\cdot d\cdot x}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{y=\arccos\left(\frac{d^2+x^2-a^2}{2\cdot d\cdot x}\right)}[/tex3]

Apenas uma atenção quanto aos valores dos ângulos, eles estão em radianos e não em graus. Se você quiser apresentá-los em graus, deve dividir o valor por [tex3]\pi[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi[/tex3]

e multiplicar por [tex3]180[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]180[/tex3]

.

Grande abraço,
Prof. Caju