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(Mit) Equação
Enviado: 10 Nov 2021, 08:27
por AngelitaB
Seja r, s e t raízes da equação f(x)=x³ - 4x² + 6x + c com c>0 tal que 1=[tex3]\frac{1}{r²+s²} + \frac{1}{s²+t²} + \frac{1}{t²+r²}[/tex3]
. Então o valor de c-2 [tex3]\sqrt{59}[/tex3]
é igual a:
a)10
b)11
c)12
d)13
e)14
Re: (Mit) Equação
Enviado: 10 Nov 2021, 09:29
por Tassandro
AngelitaB,
Inicialmente, vamos achar o polinônio cujas raízes sejam [tex3]r^2,s^2,t^2[/tex3]
Usando o teorema fundamental da álgebra, é notável que tal polinônio pode ser facilmente achado fazendo-se
[tex3]-P(x)\cdot P(-x)[/tex3]
Após umas contas... achamos que esse polinônio é tal que
[tex3]x^6-4x^4+(36+8c)x^2-c^2=(x^2-r^2)(x^2-s^2)(x^2-t^2)[/tex3]
Agora, vou fazer [tex3]r^2=a, s^2=b, t^2=c[/tex3]
Inicialmente, note que temos que
[tex3]1=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}[/tex3]
Tirando o MMC no lado direito, no denominador teremos
[tex3](a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(bc+ab+ac)-abc[/tex3]
No numerador:
[tex3](a+b)(b+c)+(a+c)(b+c)+(a+b)(a+c)=(a+b+c)^2+ab+bc+ab[/tex3]
Usando relações de Girard chegamos à seguinte equação em c:
[tex3]1=\frac{16+36+8c}{4(36+8c)-c^2}\implies\\
c^2-24c-92=0\implies\\
c=12+2\sqrt{59}[/tex3]
Assim,
[tex3]\boxed{c-2\sqrt{59}=12}[/tex3]
Por favor, AngelitaB, peço que verifique o gabarito dessa e da questão anterior que você postou ou pelo menos me avise se achar algum equívoco em minhas soluções
Re: (Mit) Equação
Enviado: 12 Nov 2021, 10:49
por AngelitaB
Bom dia Tassandro.
gab errado.
Agradeço..