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Círculos - Inglaterra 2000
Enviado: 28 Dez 2017, 12:28
por Atsocs
Duas circunferências secantes [tex3]C_1[/tex3]
e [tex3]C_2[/tex3]
possuem uma tangente comum que tangencia [tex3]C_1[/tex3]
em [tex3]P[/tex3]
e [tex3]C_2[/tex3]
em [tex3]Q[/tex3]
. As duas circunferências intersectam-se em [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
, onde [tex3]N[/tex3]
é mais próximo de [tex3]PQ[/tex3]
do que [tex3]M[/tex3]
. A reta [tex3]PN[/tex3]
encontra a circunferência [tex3]C_2[/tex3]
novamente em [tex3]R[/tex3]
. Prove que [tex3]MQ[/tex3]
é bissetriz do ângulo [tex3]\angle{PMR}[/tex3]
.
Re: Círculos - Inglaterra 2000
Enviado: 28 Dez 2017, 23:18
por Auto Excluído (ID:12031)
seja [tex3]X[/tex3]
o encontro de [tex3]PM[/tex3]
com [tex3]C2[/tex3]
distinto de [tex3]M[/tex3]
. Triângulos [tex3]PQX[/tex3]
e [tex3]MQR [/tex3]
são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3]
já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3]
é inscritível e [tex3]X[/tex3]
é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3]
no quadrilátero em questão.
- inglaterra (1).png (64.65 KiB) Exibido 1108 vezes
EDIT: ESTA PARTE ESTÁ ERRADA
[tex3]\angle XQP = \angle QXR[/tex3]
(semi-inscritos)
os ângulos acima não são semi-inscritos, eu cometi um engano apesar de os ângulos descritos nesta linha de fato serem iguais. Conseguindo provar que eles são iguais ou seja QX=QR, o problema se resolve:
[tex3]\angle QXR = \angle QMR[/tex3]
(ângulos inscritos)
repare agora que [tex3]\angle MRQ = \angle MQP[/tex3]
(semi-inscritos) logo triângulo PQM é semelhante a PQX e portanto [tex3]\angle PMQ =
\angle QMR[/tex3]
Re: Círculos - Inglaterra 2000
Enviado: 29 Dez 2017, 13:29
por Atsocs
sousóeu escreveu: ↑28 Dez 2017, 23:18
seja [tex3]X[/tex3]
o encontro de [tex3]PM[/tex3]
com [tex3]C2[/tex3]
distinto de [tex3]M[/tex3]
. Triângulos [tex3]PQX[/tex3]
e [tex3]MQR [/tex3]
são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3]
já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3]
é inscritível e [tex3]X[/tex3]
é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3]
no quadrilátero em questão.
Por que conclues que os triangulos são semelhantes com apenas um angulo congruente?
Re: Círculos - Inglaterra 2000
Enviado: 02 Jan 2018, 20:57
por Auto Excluído (ID:12031)
[tex3]\angle PMQ = \angle PMN + \angle NMQ = \angle NPQ + \angle NQP = 180 - \angle PNQ = \angle QNR = \angle RMQ[/tex3]