Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Olimpíadas ⇒ Análise Combinatória: Princípio da Casa dos Pombos Tópico resolvido
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Set 2007
25
09:22
Análise Combinatória: Princípio da Casa dos Pombos
Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base [tex3]10,[/tex3]
apenas com os algarismos [tex3]0[/tex3]
e [tex3]1.[/tex3]
Editado pela última vez por italoemanuell em 25 Set 2007, 09:22, em um total de 2 vezes.
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14
12:17
Re: Análise Combinatória: Princípio da Casa dos Pombos
Olá italoemanuell,
Vou provar que um número [tex3]n[/tex3] tem um múltiplo que se escreve apenas com algarismos [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] na base [tex3]10[/tex3] .
Começamos pegando uma lista de [tex3]n+1[/tex3] números da seguinte forma:
Ou seja, como temos [tex3]n+1[/tex3] restos na listagem acima, pelo princípio da casa dos pombos, no mínimo dois restos serão iguais.
Digamos que, sem perda de generalidade, os restos iguais são o [tex3]p-[/tex3] ésimo e o [tex3]k-[/tex3] ésimo resto ([tex3]p\lt k[/tex3] ) da listagem acima:
Vou provar que um número [tex3]n[/tex3] tem um múltiplo que se escreve apenas com algarismos [tex3]0[/tex3] e [tex3]1[/tex3] na base [tex3]10[/tex3] .
Começamos pegando uma lista de [tex3]n+1[/tex3] números da seguinte forma:
- [tex3]\begin{array}{c}
1\\
11\\
111\\
1111\\
\ldots\\
\underbrace{11111\ldots 1}_{\text{ }n+1 \\\text{ algarismos}}\end{array}[/tex3]
- [tex3]1=Q_1\cdot n+r_1[/tex3]
[tex3]11=Q_2\cdot n+r_2[/tex3]
[tex3]111=Q_3\cdot n+r_3[/tex3]
[tex3]1111=Q_4\cdot n+r_4[/tex3]
[tex3]\ldots[/tex3]
[tex3]11111\ldots 1=Q_{n+1}\cdot n+r_{n+1}[/tex3]
Ou seja, como temos [tex3]n+1[/tex3] restos na listagem acima, pelo princípio da casa dos pombos, no mínimo dois restos serão iguais.
Digamos que, sem perda de generalidade, os restos iguais são o [tex3]p-[/tex3] ésimo e o [tex3]k-[/tex3] ésimo resto ([tex3]p\lt k[/tex3] ) da listagem acima:
- [tex3]\underbrace{1111\ldots1}_{\text{p algarismos}}=Q_p\cdot n+r_p[/tex3]
[tex3]\underbrace{111111\ldots1}_{\text{k algarismos}}=Q_k\cdot n+r_k[/tex3]
- [tex3]\underbrace{1111\ldots1}_{\text{k-p algarismos}}\overbrace{000\ldots0}^{\text{p algarismos}}=(Q_k-Q_p)\cdot n+\underbrace{r_k-r_p}_{\text{ zero, pois s\tilde{a}o iguais}}[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 14 Out 2007, 12:17, em um total de 1 vez.
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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