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Considere as equações [tex3]z^3=i[/tex3] e [tex3]z^2+(2+i)z+2i=0[/tex3] , onde [tex3]z[/tex3] é complexo. Seja [tex3]S_1[/tex3] o conjunto das raízes da primeira equação e [tex3]S_2[/tex3] o da segunda. Então:

a) [tex3]S_1\cup S_2[/tex3] é vazio
b) [tex3]S_1\cap S_2\subset \mathbb{R}[/tex3]
c) [tex3]S_1[/tex3] possui apenas dois elementos distintos
d) [tex3]S_1\cap S_2[/tex3] é unitário
e) [tex3]S_1\cap S_2[/tex3] possui dois elementos

Na primeira equação:

$z^3=cis(90)$

Da segunda fórmula de moivre:

$z_1=cis(\frac{90}{3})=cis(30)=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
$z_2=cis(\frac{90+360}{3})=cis(150)=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$
$z_3=cis(\frac{90+720}{3})=cis(270)=-i$

Na segunda:

$z^2+(2+i)z+2i=0$

Então o produto das raízes é $2i$ e a soma $-2-i$ . É fácil ver que

$z_1=-2$
$z_2=-i$

Então a intersecção dos conjuntos resulta em $-i$
Letra D

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(ITA - 1990) Números Complexos

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