Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero 🙏)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos 🥰

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

IME / ITA(ITA - 1992) Binômio de Newton Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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brain_tnt
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(ITA - 1992) Binômio de Newton

Mensagem não lida por brain_tnt »

A igualdade
  • [tex3]\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot {n\choose k}\cdot 7^n+\sum_{j=0}^{m} {m\choose j}\cdot 2^m=64[/tex3]
é válida para:

a) quaisquer que sejam [tex3]n[/tex3] e [tex3]m[/tex3] naturais e positivos.
b) qualquer que seja [tex3]n[/tex3] natural positivo e [tex3]m=3.[/tex3]
c) [tex3]n=13[/tex3] e [tex3]m=6.[/tex3]
d) [tex3]n[/tex3] ímpar e [tex3]m[/tex3] par.
e) n.d.a.

Editado pela última vez por caju em 19 Abr 2018, 20:38, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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caju
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Re: (ITA - 1992) Binômio de Newton

Mensagem não lida por caju »

Olá brain_tnt,

Note que podemos modificar os somatórios para que eles mostrem exatamente a representação da expansão de dois binômios de Newton:
  • [tex3]\sum_{k=0}^n(-1)^k\cdot {n\choose k}\cdot 7^k\cdot 7^{n-k}+\sum_{j=0}^m{m\choose j} \cdot 2^j\cdot 2^{m-j}=64[/tex3]
e podemos colocar o [tex3](-1)^k[/tex3] junto com [tex3]7^k[/tex3]
  • [tex3]\sum_{k=0}^n{n\choose k}\cdot (-7)^k\cdot 7^{n-k}+\sum_{j=0}^m{m\choose j}\cdot 2^j\cdot 2^{m-j}=64[/tex3]
Agora sim, esta é a expansão dos seguintes binômios de Newton:
  • [tex3](7-7)^n+(2+2)^m=64[/tex3]

    [tex3]0^n+4^m=4^3[/tex3]
Veja que [tex3]n[/tex3] pode ser qualquer número positivo (mas tem que ser natural pois faz parte de um número binomial). Enquanto [tex3]m[/tex3] tem que ser [tex3]3.[/tex3]

Editado pela última vez por caju em 19 Abr 2018, 20:39, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
"A beleza de ser um eterno aprendiz..."
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