Aiaiaiai,esses números complexos de novo...
Considere os numeros complexos z tais que [tex3]\left|z+\frac{1}{z}\right|=1[/tex3]
.Determine o valor máximo do modulo de z.
bjos
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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IME / ITA ⇒ (IME/CG - 2000) Números Complexos Tópico resolvido
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Nov 2006
11
00:01
Re: (IME/CG - 2000) Números Complexos
Olá aline. Eu tentei resolver...
Sendo [tex3]z=a + bi[/tex3] (com [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] pertencentes aos reais), temos:
[tex3]\left|(a+bi) + \frac{1}{a+bi}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|(a+bi) + \frac{1}{a+bi}.\frac{a-bi}{a-bi}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|(a+bi) + \frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\frac{(a^2+b^2).(a+bi)}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\frac{a^3+a^2bi+ab^2+b^3i}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\frac{a^3+ab^2+a}{a^2+b^2}+\frac{b^3i+a^2bi-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\left[\frac{a.(a^2+b^2+1)}{a^2+b^2}\right]+\left[\frac{b.(a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}\right].i\right|=1[/tex3]
Ufa... temos então o valor do módulo de um número complexo, em função do número [tex3]z[/tex3] inicial. Se o problema pediu para considerar todos os número complexos escritos nessa forma final que possuem módulo igual a 1, veja o que nós temos (de acordo com o meu pensamento):
Então, olhando ali em cima, qual o maior ponto (que provavelmente propiciaria o maior módulo para [tex3]z[/tex3] )? Ora, é (0,1). Portanto, a parte REAL do complexo vale zero, e a parte IMAGINÁRIA vale um. De acordo com o que eu encontrei anteriormente, podemos escrever:
[tex3]\frac{a.(a^2 +b^2+1)}{a^2+b^2}=0[/tex3]
[tex3]a(a^2+b^2+1)=0[/tex3]
Aqui podemos ter:
[tex3]a^2 + b^2+1=0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]a^2+b^2=-1[/tex3] (o que soa a um certo absurdo, dado que a soma dos quadrados de dois números reais não pode ser negativa)
OU
[tex3]a=0[/tex3] (o que passarei a considerar)
Agora, a parte imaginária:
[tex3]\frac{b.(a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}=1[/tex3]
Como a=0:
[tex3]\frac{b.(b^2-1)}{b^2}=1[/tex3]
[tex3]b^3-b=b^2[/tex3]
[tex3]b^3-b^2-b=0[/tex3]
[tex3]b(b^2-b-1)=0[/tex3]
Agora, podemos ter:
[tex3]b=0[/tex3] (o que também soa a absurdo, pois como [tex3]a=0[/tex3] , não teríamos um número complexo, apenas o 0, que possui módulo 0)
OU
[tex3]b^2-b-1=0[/tex3] (o que passarei a considerar)
Resolvendo essa equação, encontramos:
[tex3]b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] ou [tex3]b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3] . Como é pedido o valor máximo do módulo de [tex3]z[/tex3] , podemos considerar que:
[tex3]z = a+bi[/tex3]
[tex3]z = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)i[/tex3]
O módulo desse número, então, é:
[tex3]\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2}[/tex3] , que resulta em [tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] (se você quiser voltar naquela figura e usar o ponto mínimo (0,-1), vai encontar o mesmo valor para o módulo de [tex3]z[/tex3] ).
UFA... Será isso mesmo?!
Até mais!
Sendo [tex3]z=a + bi[/tex3] (com [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] pertencentes aos reais), temos:
[tex3]\left|(a+bi) + \frac{1}{a+bi}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|(a+bi) + \frac{1}{a+bi}.\frac{a-bi}{a-bi}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|(a+bi) + \frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\frac{(a^2+b^2).(a+bi)}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\frac{a^3+a^2bi+ab^2+b^3i}{a^2+b^2}+\frac{a-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\frac{a^3+ab^2+a}{a^2+b^2}+\frac{b^3i+a^2bi-bi}{a^2+b^2}\right|=1[/tex3]
[tex3]\left|\left[\frac{a.(a^2+b^2+1)}{a^2+b^2}\right]+\left[\frac{b.(a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}\right].i\right|=1[/tex3]
Ufa... temos então o valor do módulo de um número complexo, em função do número [tex3]z[/tex3] inicial. Se o problema pediu para considerar todos os número complexos escritos nessa forma final que possuem módulo igual a 1, veja o que nós temos (de acordo com o meu pensamento):
Então, olhando ali em cima, qual o maior ponto (que provavelmente propiciaria o maior módulo para [tex3]z[/tex3] )? Ora, é (0,1). Portanto, a parte REAL do complexo vale zero, e a parte IMAGINÁRIA vale um. De acordo com o que eu encontrei anteriormente, podemos escrever:
[tex3]\frac{a.(a^2 +b^2+1)}{a^2+b^2}=0[/tex3]
[tex3]a(a^2+b^2+1)=0[/tex3]
Aqui podemos ter:
[tex3]a^2 + b^2+1=0[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]a^2+b^2=-1[/tex3] (o que soa a um certo absurdo, dado que a soma dos quadrados de dois números reais não pode ser negativa)
OU
[tex3]a=0[/tex3] (o que passarei a considerar)
Agora, a parte imaginária:
[tex3]\frac{b.(a^2+b^2-1)}{a^2+b^2}=1[/tex3]
Como a=0:
[tex3]\frac{b.(b^2-1)}{b^2}=1[/tex3]
[tex3]b^3-b=b^2[/tex3]
[tex3]b^3-b^2-b=0[/tex3]
[tex3]b(b^2-b-1)=0[/tex3]
Agora, podemos ter:
[tex3]b=0[/tex3] (o que também soa a absurdo, pois como [tex3]a=0[/tex3] , não teríamos um número complexo, apenas o 0, que possui módulo 0)
OU
[tex3]b^2-b-1=0[/tex3] (o que passarei a considerar)
Resolvendo essa equação, encontramos:
[tex3]b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] ou [tex3]b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex3] . Como é pedido o valor máximo do módulo de [tex3]z[/tex3] , podemos considerar que:
[tex3]z = a+bi[/tex3]
[tex3]z = \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)i[/tex3]
O módulo desse número, então, é:
[tex3]\sqrt{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2}[/tex3] , que resulta em [tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3] (se você quiser voltar naquela figura e usar o ponto mínimo (0,-1), vai encontar o mesmo valor para o módulo de [tex3]z[/tex3] ).
UFA... Será isso mesmo?!
Até mais!
Editado pela última vez por Daniel Hartmann em 11 Nov 2006, 00:01, em um total de 1 vez.
"Nessa história de olho por olho, dente por dente, alguém sempre acaba cego." - Ditado popular
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11
19:59
Re: (IME/CG - 2000) Números Complexos
Ae Daniel, caraca ficou grande seu post...
Cara, só não entendi pq escolher o ponto (0,1)... mas o resto está super bem explicado...
Também não consegui fazer esta questão... tou tentando...
vlw mlk
Cara, só não entendi pq escolher o ponto (0,1)... mas o resto está super bem explicado...
Também não consegui fazer esta questão... tou tentando...
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Editado pela última vez por bigjohn em 11 Nov 2006, 19:59, em um total de 1 vez.
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Nov 2006
13
22:35
Re: (IME/CG - 2000) Números Complexos
Olá Aline, Daniel e Bigjohn,
Como esta questão é do CG do IME, é permitido utilizar cálculo diferencial e integral, pois é parte do cronograma deste concurso. Note que falei CG e não CFG, que é o concurso no qual todos nós fazemso. CG é o concurso específico para os tenentes da Academia Agulhas Negras, que já tiveram essa matéria lá.
Bom, mas vamos lá. Começamos trocando o valor de Z por
Agora podemos aplicar a fórmula de De Moivre para potenciação para números complexos:
Agora devemos fazer a análise vetorial desta subtração:
Nesse gráfico representei o complexo e o
Agora é só aplicar uma lei dos co-senos no triângulo vermelho de lados 1, e
Veja que o ângulo deste triângulo mede . Aplicando a lei:
Devemos então achar o valor máximo de .
Derivando em relação
Agora igualamos a ZERO para encontrar o válor de máximo:
Agora voltamos para a equação original, substituímos o valor de para encontrar o valor de correspondente.
Resolvendo esta equação biquadrada encontramos o valor de .
Como já está super grande este post, deixo esta equação para alguém que quiser terminar. Obrigado,
Atenciosamente
Prof. Caju
WebMaster TutorBrasil.com.br
Como esta questão é do CG do IME, é permitido utilizar cálculo diferencial e integral, pois é parte do cronograma deste concurso. Note que falei CG e não CFG, que é o concurso no qual todos nós fazemso. CG é o concurso específico para os tenentes da Academia Agulhas Negras, que já tiveram essa matéria lá.
Bom, mas vamos lá. Começamos trocando o valor de Z por
Agora podemos aplicar a fórmula de De Moivre para potenciação para números complexos:
Agora devemos fazer a análise vetorial desta subtração:
Nesse gráfico representei o complexo e o
Agora é só aplicar uma lei dos co-senos no triângulo vermelho de lados 1, e
Veja que o ângulo deste triângulo mede . Aplicando a lei:
Devemos então achar o valor máximo de .
Derivando em relação
Agora igualamos a ZERO para encontrar o válor de máximo:
Agora voltamos para a equação original, substituímos o valor de para encontrar o valor de correspondente.
Resolvendo esta equação biquadrada encontramos o valor de .
Como já está super grande este post, deixo esta equação para alguém que quiser terminar. Obrigado,
Atenciosamente
Prof. Caju
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Editado pela última vez por caju em 13 Nov 2006, 22:35, em um total de 1 vez.
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Nov 2006
14
15:26
Re: (IME/CG - 2000) Números Complexos
Olá todo mundo! Eu tentei terminar a equação biquadrada enontrada pelo Prof. caju e encontrei o mesmo valor: [tex3]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex3]
(fatorando, mas encontrei)...
Editado pela última vez por Daniel Hartmann em 14 Nov 2006, 15:26, em um total de 1 vez.
"Nessa história de olho por olho, dente por dente, alguém sempre acaba cego." - Ditado popular
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