Pdalindão escreveu: ↑26 Mai 2024, 10:14
GiovanaMSP escreveu: ↑25 Mai 2024, 22:00
Peguei a questão para fazer, porém, não cheguei ao gabarito. Ainda não sei bem o que errei. Em breve tento novamente.
Do enunciado: [tex3]P(0)=0\ \therefore\ ab=-2\ (i)[/tex3]
.
Por Briot - Ruffini em [tex3]P(x)[/tex3]
obtemos que [tex3]P(x)=x\left[x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\right][/tex3]
. Dado que [tex3]P(x)[/tex3]
tem duas raízes nulas, logo, [tex3]a-b-3=0\ (ii)[/tex3]
.
Novamente por Briot - Ruffini temos que [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3]
.
Ademais, o enunciado nos informa que [tex3]P(x)[/tex3]
tem duas e somente duas raízes nulas, logo, [tex3]2a+b\neq 0\ (iii)[/tex3]
.
De [tex3](i)[/tex3]
e [tex3](ii)[/tex3]
concluímos que [tex3](a,b)=(1,-2)\ \vee\ (a,b)=(2,-1)[/tex3]
. Testando estes valores na condição [tex3](iii)[/tex3]
:
[tex3](a,b)=(1,-2)\ \therefore\ 2a+b=0\neq 0\ \therefore\ n\tilde{a}o\ ok![/tex3]
[tex3](a,b)=(2,-1)\ \therefore\ 2a+b=3\neq 0\ \therefore\ ok![/tex3]
Deste modo: [tex3]P(x)=x^5+4x^4-x^3+3x^2[/tex3]
, tal que [tex3]P(-1)=(-1)^5+4\cdot (-1)^4-(-1)^3+3\cdot (-1)^2\ \therefore\ P(-1)=7[/tex3]
.
Olá. Muito obrigado pelo auxílio. mas tenho uma dúvida: Como vc aplicou brioth ruffini sem as raízes do polinômio divisor?
Disponha.
Fica um tanto complicando explicitar o método de Briot - Ruffini por aqui, mas veja se dá para entender. Do contrário, me avise, que eu tento explicitar cálculo por cálculo.
Quando temos, por exemplo, um polinômio [tex3]P(x)[/tex3]
e dizemos que [tex3]P(x)[/tex3]
é divisível por [tex3]x+ k[/tex3]
, logo, [tex3]P(- k)=0[/tex3]
, ou seja, por Briot - Ruffini fazemos [tex3]\frac{P(x)}{x+k}[/tex3]
. Para o caso da raiz nula tal qual o enunciado, basta fazermos [tex3]\frac{P(x)}{x}[/tex3]
, sendo [tex3]k=0[/tex3]
.
Por exemplo, para a primeira raiz nula:
[tex3]\frac{x^{5}+4x^{4} - x^{3}+(2a+b)x^{2}+(a-b-3)x+(ab+2)}{x}\to \begin{cases}
Q_1(x)=x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\\
R_1(x)=ab+2
\end{cases}[/tex3]
Agora, para a segunda raiz nula:
[tex3]\frac{x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3}{x}\to \begin{cases}
Q_2(x)=x^3+4x^2-x+2a+b\\
R_2(x)=a-b-3
\end{cases}[/tex3]
Sendo [tex3]Q_i(x)[/tex3]
e [tex3]R_i(x)[/tex3]
, respectivamente, o quociente e o resto da divisão.
Por fim, uma vez abaixado o grau de [tex3]P(x)[/tex3]
, apenas reescrevi [tex3]P(x)[/tex3]
como [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3]
.