a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]
Resposta
d
Ensino Médio ⇒ Polinômios (não encontrei a instituição) Tópico resolvido
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Pdalindão
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Mai 2024
25
18:41
Polinômios (não encontrei a instituição)
Se [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
são números reais tais que o polinômio [tex3]p(x)=x^{5}+4x^{4} - x^{3}+(2a+b)x^{2}+(a-b-3)x+(ab+2)[/tex3]
admite duas e somente duas raizes nulas então [tex3]p(-1)[/tex3]
é igual a:
a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]
d
a) [tex3]-2[/tex3]
b) [tex3]-1[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]1[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]
d
Editado pela última vez por caju em 25 Mai 2024, 22:16, em um total de 1 vez.
Razão: arrumar tex.
Razão: arrumar tex.
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GiovanaMSP
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Mai 2024
25
22:00
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Peguei a questão para fazer, porém, não cheguei ao gabarito. Ainda não sei bem o que errei. Em breve tento novamente.
Do enunciado: [tex3]P(0)=0\ \therefore\ ab=-2\ (i)[/tex3] .
Por Briot - Ruffini em [tex3]P(x)[/tex3] obtemos que [tex3]P(x)=x\left[x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\right][/tex3] . Dado que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas raízes nulas, logo, [tex3]a-b-3=0\ (ii)[/tex3] .
Novamente por Briot - Ruffini temos que [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Ademais, o enunciado nos informa que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas e somente duas raízes nulas, logo, [tex3]2a+b\neq 0\ (iii)[/tex3] .
De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] concluímos que [tex3](a,b)=(1,-2)\ \vee\ (a,b)=(2,-1)[/tex3] . Testando estes valores na condição [tex3](iii)[/tex3] :
[tex3](a,b)=(1,-2)\ \therefore\ 2a+b=0\neq 0\ \therefore\ n\tilde{a}o\ ok![/tex3]
[tex3](a,b)=(2,-1)\ \therefore\ 2a+b=3\neq 0\ \therefore\ ok![/tex3]
Deste modo: [tex3]P(x)=x^5+4x^4-x^3+3x^2[/tex3] , tal que [tex3]P(-1)=(-1)^5+4\cdot (-1)^4-(-1)^3+3\cdot (-1)^2\ \therefore\ P(-1)=7[/tex3] .
Do enunciado: [tex3]P(0)=0\ \therefore\ ab=-2\ (i)[/tex3] .
Por Briot - Ruffini em [tex3]P(x)[/tex3] obtemos que [tex3]P(x)=x\left[x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\right][/tex3] . Dado que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas raízes nulas, logo, [tex3]a-b-3=0\ (ii)[/tex3] .
Novamente por Briot - Ruffini temos que [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Ademais, o enunciado nos informa que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas e somente duas raízes nulas, logo, [tex3]2a+b\neq 0\ (iii)[/tex3] .
De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] concluímos que [tex3](a,b)=(1,-2)\ \vee\ (a,b)=(2,-1)[/tex3] . Testando estes valores na condição [tex3](iii)[/tex3] :
[tex3](a,b)=(1,-2)\ \therefore\ 2a+b=0\neq 0\ \therefore\ n\tilde{a}o\ ok![/tex3]
[tex3](a,b)=(2,-1)\ \therefore\ 2a+b=3\neq 0\ \therefore\ ok![/tex3]
Deste modo: [tex3]P(x)=x^5+4x^4-x^3+3x^2[/tex3] , tal que [tex3]P(-1)=(-1)^5+4\cdot (-1)^4-(-1)^3+3\cdot (-1)^2\ \therefore\ P(-1)=7[/tex3] .
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Mai 2024
26
09:38
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Não encontrei o possível erro. Se algum membro quiser tentar propor algo, fique à vontade.
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caju
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26
09:48
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Não há erros nas suas contas, @GiovanaMSP. Estão corretíssimas.
O enunciado digitado deve estar com algum erro de digitação em algum sinal.
Grande abraço,
Prof. Caju
O enunciado digitado deve estar com algum erro de digitação em algum sinal.
Grande abraço,
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Mai 2024
26
10:04
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Eu conferi várias vezes e o enunciado (segundo o que está na folha é esse que coloquei mesmo). Provavelmente deve ser algum erro de digitação do enunciado ou gabarito. De qualquer forma muito obrigado pela ajuda. Com o auxílio de vcs, agora sei lidar melhor com esse tipo de questão. Abraços
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Pdalindão
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Mai 2024
26
10:14
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Olá. Muito obrigado pelo auxílio. mas tenho uma dúvida: Como vc aplicou brioth ruffini sem as raízes do polinômio divisor?GiovanaMSP escreveu: ↑25 Mai 2024, 22:00Peguei a questão para fazer, porém, não cheguei ao gabarito. Ainda não sei bem o que errei. Em breve tento novamente.
Do enunciado: [tex3]P(0)=0\ \therefore\ ab=-2\ (i)[/tex3] .
Por Briot - Ruffini em [tex3]P(x)[/tex3] obtemos que [tex3]P(x)=x\left[x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\right][/tex3] . Dado que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas raízes nulas, logo, [tex3]a-b-3=0\ (ii)[/tex3] .
Novamente por Briot - Ruffini temos que [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Ademais, o enunciado nos informa que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas e somente duas raízes nulas, logo, [tex3]2a+b\neq 0\ (iii)[/tex3] .
De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] concluímos que [tex3](a,b)=(1,-2)\ \vee\ (a,b)=(2,-1)[/tex3] . Testando estes valores na condição [tex3](iii)[/tex3] :
[tex3](a,b)=(1,-2)\ \therefore\ 2a+b=0\neq 0\ \therefore\ n\tilde{a}o\ ok![/tex3]
[tex3](a,b)=(2,-1)\ \therefore\ 2a+b=3\neq 0\ \therefore\ ok![/tex3]
Deste modo: [tex3]P(x)=x^5+4x^4-x^3+3x^2[/tex3] , tal que [tex3]P(-1)=(-1)^5+4\cdot (-1)^4-(-1)^3+3\cdot (-1)^2\ \therefore\ P(-1)=7[/tex3] .
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GiovanaMSP
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Mai 2024
26
10:28
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Disponha.Pdalindão escreveu: ↑26 Mai 2024, 10:14Olá. Muito obrigado pelo auxílio. mas tenho uma dúvida: Como vc aplicou brioth ruffini sem as raízes do polinômio divisor?GiovanaMSP escreveu: ↑25 Mai 2024, 22:00Peguei a questão para fazer, porém, não cheguei ao gabarito. Ainda não sei bem o que errei. Em breve tento novamente.
Do enunciado: [tex3]P(0)=0\ \therefore\ ab=-2\ (i)[/tex3] .
Por Briot - Ruffini em [tex3]P(x)[/tex3] obtemos que [tex3]P(x)=x\left[x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\right][/tex3] . Dado que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas raízes nulas, logo, [tex3]a-b-3=0\ (ii)[/tex3] .
Novamente por Briot - Ruffini temos que [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Ademais, o enunciado nos informa que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas e somente duas raízes nulas, logo, [tex3]2a+b\neq 0\ (iii)[/tex3] .
De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] concluímos que [tex3](a,b)=(1,-2)\ \vee\ (a,b)=(2,-1)[/tex3] . Testando estes valores na condição [tex3](iii)[/tex3] :
[tex3](a,b)=(1,-2)\ \therefore\ 2a+b=0\neq 0\ \therefore\ n\tilde{a}o\ ok![/tex3]
[tex3](a,b)=(2,-1)\ \therefore\ 2a+b=3\neq 0\ \therefore\ ok![/tex3]
Deste modo: [tex3]P(x)=x^5+4x^4-x^3+3x^2[/tex3] , tal que [tex3]P(-1)=(-1)^5+4\cdot (-1)^4-(-1)^3+3\cdot (-1)^2\ \therefore\ P(-1)=7[/tex3] .
Fica um tanto complicando explicitar o método de Briot - Ruffini por aqui, mas veja se dá para entender. Do contrário, me avise, que eu tento explicitar cálculo por cálculo.
Quando temos, por exemplo, um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] e dizemos que [tex3]P(x)[/tex3] é divisível por [tex3]x+ k[/tex3] , logo, [tex3]P(- k)=0[/tex3] , ou seja, por Briot - Ruffini fazemos [tex3]\frac{P(x)}{x+k}[/tex3] . Para o caso da raiz nula tal qual o enunciado, basta fazermos [tex3]\frac{P(x)}{x}[/tex3] , sendo [tex3]k=0[/tex3] .
Por exemplo, para a primeira raiz nula:
[tex3]\frac{x^{5}+4x^{4} - x^{3}+(2a+b)x^{2}+(a-b-3)x+(ab+2)}{x}\to \begin{cases}
Q_1(x)=x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\\
R_1(x)=ab+2
\end{cases}[/tex3]
Agora, para a segunda raiz nula:
[tex3]\frac{x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3}{x}\to \begin{cases}
Q_2(x)=x^3+4x^2-x+2a+b\\
R_2(x)=a-b-3
\end{cases}[/tex3]
Sendo [tex3]Q_i(x)[/tex3] e [tex3]R_i(x)[/tex3] , respectivamente, o quociente e o resto da divisão.
Por fim, uma vez abaixado o grau de [tex3]P(x)[/tex3] , apenas reescrevi [tex3]P(x)[/tex3] como [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Editado pela última vez por GiovanaMSP em 26 Mai 2024, 10:30, em um total de 2 vezes.
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caju
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Mai 2024
26
10:36
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Em vez de pensar em Briot-Ruffini, poderia utilizar propriedade dos polinômios, que é:
[tex3]\begin{cases}
a\cdot b=-2\\
a-b-3=0\\
2a+b\neq 0
\end{cases}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
- se tem exatamente 1 raiz nula, então o coeficiente de [tex3]x^0[/tex3] é nulo e o coeficiente de [tex3]x^1\ne 0[/tex3] .
- se tem exatamente 2 raízes nulas, então os coeficientes de [tex3]x^0[/tex3] e [tex3]x^1[/tex3] são nulos e o coeficiente de [tex3]x^2\ne 0[/tex3] .
- se tem exatamente 3 raízes nulas, então os coeficientes de [tex3]x^0[/tex3]
, [tex3]x^1[/tex3]
e [tex3]x^2[/tex3]
são nulos e o coeficiente de [tex3]x^3\ne 0[/tex3]
.
...
[tex3]\begin{cases}
a\cdot b=-2\\
a-b-3=0\\
2a+b\neq 0
\end{cases}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
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Jun 2024
08
18:46
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
GiovanaMSP escreveu: ↑26 Mai 2024, 10:28Disponha.Pdalindão escreveu: ↑26 Mai 2024, 10:14Olá. Muito obrigado pelo auxílio. mas tenho uma dúvida: Como vc aplicou brioth ruffini sem as raízes do polinômio divisor?GiovanaMSP escreveu: ↑25 Mai 2024, 22:00Peguei a questão para fazer, porém, não cheguei ao gabarito. Ainda não sei bem o que errei. Em breve tento novamente.
Do enunciado: [tex3]P(0)=0\ \therefore\ ab=-2\ (i)[/tex3] .
Por Briot - Ruffini em [tex3]P(x)[/tex3] obtemos que [tex3]P(x)=x\left[x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\right][/tex3] . Dado que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas raízes nulas, logo, [tex3]a-b-3=0\ (ii)[/tex3] .
Novamente por Briot - Ruffini temos que [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Ademais, o enunciado nos informa que [tex3]P(x)[/tex3] tem duas e somente duas raízes nulas, logo, [tex3]2a+b\neq 0\ (iii)[/tex3] .
De [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] concluímos que [tex3](a,b)=(1,-2)\ \vee\ (a,b)=(2,-1)[/tex3] . Testando estes valores na condição [tex3](iii)[/tex3] :
[tex3](a,b)=(1,-2)\ \therefore\ 2a+b=0\neq 0\ \therefore\ n\tilde{a}o\ ok![/tex3]
[tex3](a,b)=(2,-1)\ \therefore\ 2a+b=3\neq 0\ \therefore\ ok![/tex3]
Deste modo: [tex3]P(x)=x^5+4x^4-x^3+3x^2[/tex3] , tal que [tex3]P(-1)=(-1)^5+4\cdot (-1)^4-(-1)^3+3\cdot (-1)^2\ \therefore\ P(-1)=7[/tex3] .
Fica um tanto complicando explicitar o método de Briot - Ruffini por aqui, mas veja se dá para entender. Do contrário, me avise, que eu tento explicitar cálculo por cálculo.
Quando temos, por exemplo, um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] e dizemos que [tex3]P(x)[/tex3] é divisível por [tex3]x+ k[/tex3] , logo, [tex3]P(- k)=0[/tex3] , ou seja, por Briot - Ruffini fazemos [tex3]\frac{P(x)}{x+k}[/tex3] . Para o caso da raiz nula tal qual o enunciado, basta fazermos [tex3]\frac{P(x)}{x}[/tex3] , sendo [tex3]k=0[/tex3] .
Por exemplo, para a primeira raiz nula:
[tex3]\frac{x^{5}+4x^{4} - x^{3}+(2a+b)x^{2}+(a-b-3)x+(ab+2)}{x}\to \begin{cases}
Q_1(x)=x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3\\
R_1(x)=ab+2
\end{cases}[/tex3]
Agora, para a segunda raiz nula:
[tex3]\frac{x^4+4x^3-x^2+(2a+b)x+a-b-3}{x}\to \begin{cases}
Q_2(x)=x^3+4x^2-x+2a+b\\
R_2(x)=a-b-3
\end{cases}[/tex3]
Sendo [tex3]Q_i(x)[/tex3] e [tex3]R_i(x)[/tex3] , respectivamente, o quociente e o resto da divisão.
Por fim, uma vez abaixado o grau de [tex3]P(x)[/tex3] , apenas reescrevi [tex3]P(x)[/tex3] como [tex3]P(x)=x^2\left(x^3+4x^2-x+2a+b\right)[/tex3] .
Entendi perfeitamente. EU sabia que dividia por x-k, mas não me toquei que o k era 0. Com isso diviria por x e continuaria o resto sucessivamente.
Muito obrigado meu amigo.
-
Pdalindão
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Jun 2024
08
18:47
Re: Polinômios (não encontrei a instituição)
Eu não conhecia essa propriedade. Mas entendi a aplicação. Muito obrigado pela ajudacaju escreveu: ↑26 Mai 2024, 10:36 Em vez de pensar em Briot-Ruffini, poderia utilizar propriedade dos polinômios, que é:
Ou seja, poderíamos partir a resolução diretamente do sistema:
- se tem exatamente 1 raiz nula, então o coeficiente de [tex3]x^0[/tex3] é nulo e o coeficiente de [tex3]x^1\ne 0[/tex3] .
- se tem exatamente 2 raízes nulas, então os coeficientes de [tex3]x^0[/tex3] e [tex3]x^1[/tex3] são nulos e o coeficiente de [tex3]x^2\ne 0[/tex3] .
- se tem exatamente 3 raízes nulas, então os coeficientes de [tex3]x^0[/tex3] , [tex3]x^1[/tex3] e [tex3]x^2[/tex3] são nulos e o coeficiente de [tex3]x^3\ne 0[/tex3] .
...
[tex3]\begin{cases}
a\cdot b=-2\\
a-b-3=0\\
2a+b\neq 0
\end{cases}[/tex3]
Grande abraço,
Prof. Caju
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