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(FUVEST 1998) Geometria Analítica
Enviado: 16 Dez 2017, 22:22
por lincoln1000
Uma reta de coeficiente angular [tex3]m > 0[/tex3]
passa pelo ponto [tex3](2,0)[/tex3]
e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices [tex3](1,1)[/tex3]
, [tex3](5,1)[/tex3]
, [tex3](5,5)[/tex3]
e [tex3](1,5)[/tex3]
. Então
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a) [tex3]0 < m < \frac{1}{3}[/tex3]
b) [tex3]m=\frac{1}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{1}{3} < m < 1[/tex3]
d) [tex3]m=1[/tex3]
e) [tex3]1 < m < \frac{5}{3}[/tex3]
Re: (FUVEST 1998) Geometria Analítica
Enviado: 16 Dez 2017, 23:45
por alevini98
Calculando a média das coordenadas dos vértices do quadrado achamos o centro da circunferência,
[tex3]x_c=\frac{1+5+5+1}{4}\to3\\y_c=\frac{1+1+5+5}{4}\to3[/tex3]
Olhando para a figura é possível perceber que o raio da circunferência é 2, logo sua equação é:
[tex3](x-3)^2+(y-3)^2=2^2[/tex3]
Agora, calculando a equação da reta,
[tex3]y=mx+b\\0=2m+b\\\boxed{b=-2m}[/tex3]
[tex3]\boxed{y=mx-2m}[/tex3]
Jogando a equação da reta na da circunferência podemos achar os pontos de intersecção entre elas,
[tex3](x-3)^2+(mx-2m-3)^2=2^2\\x^2-6x+9+m^2x^2+4m^2+9-4m^2x-6mx+12m=4\\(m^2+1)x^2+(-6-4m^2-6m)x+14+4m^2+12m=0[/tex3]
Mas, como a reta é tangente à circunferência, então haverá apenas um pobnto de intersecção, logo [tex3]\Delta=0[/tex3]
.
[tex3]\Delta=(-6-4m^2-6m)^2-4\cdot(m^2+1)\cdot(14+4m^2+12m)\\0=36+16m^4+36m^2+48m^2+72m+48m^3-4(14m^2+4m^4+12m^3+14+4m^2+12m)\\\cancel{16m^4}+\cancel{48m^3}+84m^2+72m+36=\cancel{16m^4}+\cancel{48m^3}+72m^2+48m+56\\12m^2+24m-20=0\\6m^2+12m-10=0\\\boxed{m'=-1+2\sqrt{\frac{2}{3}}\\m''=-1-2\sqrt{\frac{2}{3}}}[/tex3]
Desconsideramos a segunda raiz pois não há alternativa com números negativos.
Nos resta a primeira raiz, e a única alternativa é aproximar na mão mesmo.
[tex3]m=-1+2\sqrt{\frac{2}{3}}\\m=-1+2\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\\m=-1+2\cdot\frac{\sqrt2\cdot\sqrt3}{3}\\m\approx-1+2\cdot\frac{1,4\cdot1,7}{3}\\\boxed{m\approx0,6}[/tex3]
Re: (FUVEST 1998) Geometria Analítica
Enviado: 16 Dez 2017, 23:49
por PedroCunha
Boa noite!
[tex3]\bullet [/tex3]
O centro da circunferência é o ponto [tex3](3,3) [/tex3]
e seu raio é 2;
[tex3]\bullet [/tex3]
Como a reta passa pelo ponto [tex3](2,0) [/tex3]
, sua equação é:
[tex3]y-0 = m \cdot (x-2) \therefore y - mx + 2m = 0 [/tex3]
[tex3]\bullet [/tex3]
Para que a reta seja tangente à circunferência, a distância dela até o centro da circunferência deve ser igual ao raio. Assim, utilizando a fórmula da
distância entre um ponto e uma reta, temos:
[tex3]
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \therefore 2 = \frac{|-m \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 2m |}{\sqrt{m^2+1}} \therefore 2\sqrt{m^2+1} = |3-m|
[/tex3]
Elevando ambos lados ao quadrado:
[tex3]
4 \cdot (m^2+1) = 9 - 6m + m^2 \therefore 4m^2 + 4 = 9-6m+m^2 \therefore 3m^2 + 6m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{-6 \pm \sqrt{96}}{6} \therefore m = \frac{-6\pm 4\sqrt{6}}{6} = \frac{-3\pm2\sqrt6}{3}
[/tex3]
Como [tex3]m > 0 [/tex3]
:
[tex3]
m = \frac{-3 \pm2\sqrt6}{3}
[/tex3]
Agora:
[tex3]
4 < 6 < 9 \therefore \sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9} \therefore 2 < \sqrt{6} < 3
[/tex3]
e portanto:
[tex3]
\frac{-3+ 2 \cdot 2}{3} < m < \frac{-3 + 3 \cdot 2}{3} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ \frac{1}{3} < m < 1 }}
[/tex3]
Abraços,
Pedro.
Re: (FUVEST 1998) Geometria Analítica
Enviado: 16 Dez 2017, 23:59
por lincoln1000
Obrigado PedroCunha e alevini98!
Re: (FUVEST 1998) Geometria Analítica
Enviado: 17 Dez 2017, 10:04
por alevini98
Realmente não tinha pensado em fazer por distância entre ponto e reta, parece ser mais fácil.