Pré-Vestibular ⇒ ENEM 2016|2 aplicação| Análise Combinatória Tópico resolvido

[estudanteg]

Para estimular o raciocínio da filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.

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De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu?

A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 72

[Rafa2604]

Para estimular o raciocínio da filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu?
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São 4 bolotas e 3 cores diferentes, de forma que os círculos adjacentes sejam pintados de cores diferentes.

Começaremos pensando no círculo A.
A tem 3 opções de cores, portanto, como B e D são adjacentes a A, então cada um deles tem 2 opções de cores.
Para determinar as possibilidades de C, devemos dividir em casos:

I) Se B e D possuem cores diferentes: então, temos que A possui 3 opções de cores, B terá 2 opções de cores, como D tem que ser diferente de B e A, D tem apenas 1 opção de cor. Logo, C terá apenas 1 opção de cor, pois as outras 2 já foram utilizadas por B e D.

II) Se B e D possuem cores iguais: então, temos que A possui 3 opções de cores, B terá 2 opções de cores, como D tem que ser igual a B, então D tem apenas 1 opção de cor. Logo, C terá 2 opções de cores, pois apenas 1 cor foi utilizada pelos seus adjacentes B e D.

Portanto, temos esses dois casos:
I) 3 (opção de A) * 2 (opção de B) * 1 (opção de D) * 1 (opção de C) = 3 * 2 * 1 * 1 = 6
II) 3 (opção de A) * 2 (opção de B) * 1 (opção de D) * 2 (opção de C) = 3 * 2 * 1 * 2 = 12

Logo, temos I + II = 6 + 12 = 18 possibilidades.

[estudanteg]

obrigada, rafa!!

[MateusQqMD]

outra solução:

Há 3 modos de pintar o círculo representado por A, 2 modos de pintar o círculo representado por B (não podemos usar a mesma cor que foi usada no círculo A), 2 modos de pintar o círculo representado por C (não podemos usar a mesma cor que foi usada no círculo B) e 2 modos de pintar o círculo representado por D (não podemos usar a mesma cor que foi usada no círculo C, nem a mesma cor que foi usada no círculo A , mas vamos ignorar essa última condição). A resposta, nesse caso, seria [tex3]3 \times 2^3 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \times 2^3 [/tex3]

, mas essa contagem considera, de forma errada, os casos em que o círculo A e o círculo D possuem a mesma cor. Esses casos são em número de [tex3]3 \times 2 \times 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \times 2 \times 1[/tex3]

, uma vez que há 3 modos de pintar o círculo A (que automaticamente possuirá a mesma cor que o círculo D), 2 modos de pintar o círculo B e 1 modo de pintar o círculo C.

A resposta é [tex3]3 \times 2^3 - 3 \times 2 \times 1 = 18[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3 \times 2^3 - 3 \times 2 \times 1 = 18[/tex3]

[caju]

Essa eu postei no canal TutorBrasil do youtube: https://youtu.be/Q0zreElngeE

Grande abraço,
Prof. Caju