Pré-Vestibular ⇒ (Poliedro) Soma de senos cujos arcos estão em P.A. Tópico resolvido

[anastacialina]

Oi, gente? Tudo bem? Poderiam me ajudar nesse exercício. Achei-o meio estranho para o que eu estou estuando. Mas como ele apresentou a fórmula e a demonstração, eu resolvi tentar. Todavia ainda eu caio em um número muito feio de trabalhar com a caneta. "Já sei, vou recorrer ao oráculo: WolframAlpha". Ainda sim o resultado é diferente. Agora não sei se estou cometendo algum erro, ou se o exercício é bugado. Vou deixar a dedução da fórmula em imagem; me perdoem, mas é MUITA coisa para digitar. Ah... o exercício diz apenas para verificar a igualdade, mas convenhamos que de todas a vezes que o livro (Poliedro, Matemática 3) trouxe esse tipo de exercíco a igualdade era verdadeira. Ele queria apenas nos fazer provar isso. Pode ser que dessa vez a igualdade seja falsa. Mas que estranho é... estranho é!

Imagem do dedução:

78.png (238.08 KiB) Exibido 2319 vezes

Resposta dada pelo WolframAlpha: somatório de senos

---

Poliedro — Demonstre as fórmulas da soma de senos de arcos em progressão aritmética e soma de cossenos de arcos também em progressão aritmética. Observe:
[tex3]\mathrm{\sen(a_1) + \sen(a_2) + \dots + \sen(a_n) = \frac{\sen \left( \frac{a_1 + a_n}{2} \right) \cdot \sen \left( \frac{nr}{2} \right)}{\sen \left( \frac{r}{2} \right)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{\sen(a_1) + \sen(a_2) + \dots + \sen(a_n) = \frac{\sen \left( \frac{a_1 + a_n}{2} \right) \cdot \sen \left( \frac{nr}{2} \right)}{\sen \left( \frac{r}{2} \right)}}[/tex3]

[tex3]\mathrm{\cos(a_1) + \cos(a_2) + \dots + \cos(a_n) = \frac{\cos \left( \frac{a_1 + a_n}{2} \right) \cdot \sen \left( \frac{nr}{2} \right)}{\sen \left( \frac{r}{2} \right)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{\cos(a_1) + \cos(a_2) + \dots + \cos(a_n) = \frac{\cos \left( \frac{a_1 + a_n}{2} \right) \cdot \sen \left( \frac{nr}{2} \right)}{\sen \left( \frac{r}{2} \right)}}[/tex3]

Verifique agora a igualdade: [tex3]\mathrm{\sen(1 \degree) + \sen(2 \degree) + \dots + \sen(179 \degree) + \sen(180 \degree) = \cotg(30 \degree)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{\sen(1 \degree) + \sen(2 \degree) + \dots + \sen(179 \degree) + \sen(180 \degree) = \cotg(30 \degree)}[/tex3]

---

Como se trata de uma questão com muitos detalhes no quesito digitação, aqui vai ela em forma de imagem na possibilidade de eu ter digitado algo errado:

79.png (104.26 KiB) Exibido 2319 vezes

[A13235378]

Olá:

Se você aplicar a fórmula direto:

[tex3]\frac{sen90sen(\frac{181}{2})}{sen\frac{1}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sen90sen(\frac{181}{2})}{sen\frac{1}{2}}[/tex3]

[tex3]\frac{sen(\frac{181}{2})}{sen\frac{1}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{sen(\frac{181}{2})}{sen\frac{1}{2}}[/tex3]

O angulo [tex3]\frac{181}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{181}{2}[/tex3]

é complementar do angulo ([tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-1}{2}[/tex3]

)

Assim o sen de 181/2 é igual ao cosseno do angulo (-1/2)

Cos é funçao par , assim cos(-1/2) = cos(1/2)

A expressao final fica como [tex3]\frac{cos(1/2)}{sen(1/2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{cos(1/2)}{sen(1/2)}[/tex3]

= cotg(1/2)

Usando a calculadora, voce vai encontrar o mesmo resultado do wolfram

[FelipeMartin]

EDIT: de fato a cotangente é de 0.5º, não de 30º

existe uma demonstração, inclusive aqui no fórum dessas fórmulas de soma de senos e cossenos em P.A: viewtopic.php?f=28&t=19744

Eu prefiro a usada pelo wolframalpha pois ela é mais geral e permite resolver somas de potências de senos:
[tex3]\sum_{k=1}^n \sen^3(2k)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^n \sen^3(2k)[/tex3]

por exemplo.
O que o wolframalpha fez, de forma discreta, foi usar uma identidade que você eventualmente vai ter que decorar que é a fórmula de Euler:
[tex3]e^{ix} = \cos x + i \sen x \implies \cos (x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{ix} = \cos x + i \sen x \implies \cos (x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

repare que a soma de senos ou cossenos ou mesmo potências deles se reduzem a somas de exponenciais (se os ângulos estão em P.A as exponenciais estarão em P.G e a soma da P.G é fácil)
[tex3]\sum_{k=1}^n \cos (a_k) = \frac12 (\sum_{k=1}^n e^{ia_k} + \sum_{k=1}^{n} e^{-ia_k}) = \frac12(e^{ia_1}(\frac{e^{inr}-1}{e^{ir}-1}) + e^{-ia_1}(\frac{e^{-inr}-1}{e^{-ir}-1}))[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^n \cos (a_k) = \frac12 (\sum_{k=1}^n e^{ia_k} + \sum_{k=1}^{n} e^{-ia_k}) = \frac12(e^{ia_1}(\frac{e^{inr}-1}{e^{ir}-1}) + e^{-ia_1}(\frac{e^{-inr}-1}{e^{-ir}-1}))[/tex3]

e ai teria que simplificar de volta essa expressão usando [tex3]e^{ix} = \cos (x) + i \sen(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{ix} = \cos (x) + i \sen(x)[/tex3]

dá um trabalho de fazer contas, mas evita ter que ter a visão.

[anastacialina]

A13235378, muito obrigado. Eu pensei que daria uma simplificação marota e do "nada" nós chegaríamos na cotg(30º). Mas a o resultado foi mesmo a cotg(1/2º). Muito obrigado. E eu sonhando com a raiz de 3. LOL. ♥♥♥

FelipeMartin, muito obrigado. Então de fato a igualdade não se confirma. Estranho, primeiro exercício desse livro onde a igual não se confirma, mas ainda sim penso ser algum erro de digitação. Já vi acontecer alguma vezes. Acho estranho também esse tipo de exercício que envolva complexos na demonstração da propriedade (demonstração que eu upei). Eu não vi complexos ainda, nem P.A e P.G. LOL. Gente, qual é a desse livro? Há sempre um exercício ou outro que eu tenho que assistir uma aula aqui ou ali pra resolver (e olha que essa eu nem resolvi), dado que não me foi apresendado aquele conteúdo no livro ainda. Mas tá bom, né? Ainda bem que esse fórum existe! O que seria de mim? LOL.

FelipeMartin, infelizmente eu não entendi a tal "fórmula de Euler". Pois como eu disse, não vi complexos ainda. Mas por favor, mesmo que seja alguma conteúdo avançado que tenha possibilidade de eu não ter visto ainda, não deixe de comentar. Eu certamente irei estudar complexos (tipo... uns poucos capítulos daquele que estou), e então voltarei aqui para entender. Juro, eu guardo vários links aqui do fórum. "Um dia eu responderei essa questão". "Um dia entenderei esse teorema".

[Jvrextrue13]

O que o wolframalpha fez, de forma discreta, foi usar uma identidade que você eventualmente vai ter que decorar que é a fórmula de Euler:
[tex3]e^{ix} = \cos x + i \sen x \implies \sen (x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]e^{ix} = \cos x + i \sen x \implies \sen (x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2[/tex3]

Essa parte, acho que isso seria o cos(x), não?

o sen(x) seria :
[tex3]sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex3]

Eu acho kkkk, posso estar ficando louco.

[FelipeMartin]

Jvrextrue13, corretíssimo. Obrigado pelo aviso.