Esboçe um triangulo [tex3]ABC[/tex3]
PEDE-SE [tex3]OI[/tex3]
Prolongue [tex3]BI[/tex3]
até o ponto [tex3]Q[/tex3]
pertencente a cicunferencia, aplicando potencia de ponto em [tex3]I[/tex3]
[tex3]R²-x²=BI*IQ[/tex3]
Trace [tex3]AQ[/tex3]
e temos por propriedade do incentro que [tex3]BI=AQ[/tex3]
Trace [tex3]OQ=R[/tex3]
e [tex3]OK[/tex3]
perpendicular a [tex3]AQ[/tex3]
tal que [tex3]KQ=\frac{AQ}{2}=\frac{BI}{2}[/tex3]
Por fim, NOte que [tex3]\Delta IBD[/tex3]
~ [tex3]\Delta ORQ[/tex3]
[tex3]\frac{BI}{R}=\frac{r}{KQ}[/tex3]
[tex3]\frac{BI*AQ}{2}=Rr[/tex3]
[tex3]BI*AQ=2Rr[/tex3]
TAL QUE ESTÁ VERIFICADO
[tex3]x=\sqrt{R²-2Rr}[/tex3]
qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3]
são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivament, [tex3]I[/tex3]
seja seu incentro, [tex3]O[/tex3]
o circuncentro, [tex3]D[/tex3]
o ponto de tangencia, em [tex3]BC[/tex3]
, da circunferencia inscrita PARTIU!!Demonstrações ⇒ (Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro
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- jvmago
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Jun 2020
06
13:38
(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
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Abr 2021
12
08:10
Re: (Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Incentro
Demonstração por complexos/analítica, conforme apresentado por Titu Andreescu:
Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC possui lados de comprimento alfa, beta e gama.
A princípio, sabemos que a coordenada do incentro do triângulo é:
[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]
Seja o circuncentro O nosso ponto (0,0), arbitrário para facilitar contas
Então
[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3] é denominado produto real complexo, uma analogia com o produto escalar entre vetores.
Agora é necessário usar o lema:
[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]
e análogos, demonstrado usando propriedades do produto real
Disso, encontramos que
[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]
Sejam a, b, c as coordenadas no plano complexo de três pontos genéricos A, B, C, não colineares.
O triângulo ABC possui lados de comprimento alfa, beta e gama.
A princípio, sabemos que a coordenada do incentro do triângulo é:
[tex3]Z_I=\frac{\alpha a+\beta b+\gamma c}{\alpha+ \beta+ \gamma }[/tex3]
Seja o circuncentro O nosso ponto (0,0), arbitrário para facilitar contas
Então
[tex3]OI^2=|Z_I|^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha +\beta +\gamma )^2R^2+2\frac{1}{4p^2}\sum_{cyc}^{}(\alpha \beta )a\bullet b[/tex3]
Onde [tex3]a\bullet b=\left(\frac{\overline{a}b+a\overline{b}}{2}\right)[/tex3] é denominado produto real complexo, uma analogia com o produto escalar entre vetores.
Agora é necessário usar o lema:
[tex3]a\bullet b=R^2-\frac{\gamma ^2}{2}[/tex3]
e análogos, demonstrado usando propriedades do produto real
Disso, encontramos que
[tex3]OI^2=\frac{1}{4p^2}(\alpha ^2+\beta ^2+\gamma ^2)R^2+\frac{2}{4p^2}\sum_{cyc}^{}\alpha \beta \left(R^2-\frac{\gamma ^2}{2}\right)\\
OI^2=R^2-\frac{1}{4p^2}\alpha \beta \gamma (\alpha+ \beta+ \gamma)\\
OI^2=R^2-2Rr [/tex3]
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