Demonstre que em todo triângulo, vale a seguinte relação:
[tex3]ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr[/tex3]
, sendo a, b e c os lados do triângulo, r o raio da circunferência inscrita, R o raio da circunscrita e p o semiperímetro.
[tex3]\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\
\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\
\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}[/tex3]
Identidade Fundamental:
[tex3]\cos A+\cos B+\cos C=1+\frac{r}{R}=\frac{R+r}{R}[/tex3]
Demonstração:
viewtopic.php?f=3&t=67107
Portanto:
[tex3]\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}+\frac{b^{2}+a^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(b+c)^{2}-a^{2}-2bc}{2bc}+\frac{(a+c)^{2}-b^{2}-2ac}{2ac}+\frac{(a+b)^{2}-c^{2}-2ab}{2ab}=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{2ab+2ac+2bc-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\
\frac{(a+b+c)}{2}.\left(\frac{4ab+4ac+4bc-(a+b+c)^{2}}{abc}\right)-3=\frac{R+r}{R}\\
\frac{abc}{4Rr}.4.\frac{(ab+ac+bc-p^{2})}{abc}-3=\frac{R+r}{R}\\
ab+ac+bc-p^{2}-3r=Rr+r^{2}\\
\boxed{ab+ac+bc=p^{2}+r^{2}+4Rr}[/tex3]
Demonstrações ⇒ Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo
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- MatheusBorges
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Jul 2018
30
14:56
Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo
Editado pela última vez por MatheusBorges em 30 Nov 2018, 17:45, em um total de 7 vezes.
A alegria está na luta, na tentativa, no sofrimento envolvido e não na vitória propriamente dita.
-Mahatma Gandhi
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Dez 2020
25
09:25
Re: Demonstração-Produto 2 a 2 dos lados de qualquer Triângulo
aliás esse tópico poderia estar nas demonstrações, não?
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
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