Devido à consideração de que [tex3]\mathsf{d \ <<< \ a}[/tex3]
, tem-se um capacitor de placas paralelas:
[tex3]\mathsf{C \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot A}{d}}[/tex3]
Considerando a situação estática:
Sua carga é: [tex3]\mathsf{Q \ = \ C \cdot V \rightarrow \ Q \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot A \cdot V}{d}}[/tex3]
A densidade superficial da carga nas placas é: [tex3]\mathsf{\sigma \ = \ \dfrac{Q}{A} \ \rightarrow \ \sigma \ = \dfrac{\epsilon \cdot \cancel{A} \cdot V}{d \cdot \cancel{A}} \ \rightarrow \ \sigma \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d}}[/tex3]
Usarei os seguintes esboços para a explicação:
Primeiramente, o movimento do capacitor gera uma corrente uma corrente elétrica laminar na direção do mesmo. Para quantificar essa corrente [tex3]\mathsf{I}[/tex3]
, fazemos as seguintes considerações:
- Um movimento infinitesimal [tex3]\mathsf{dx}[/tex3]
desloca uma área [tex3]\mathsf{dA \ = \ a \ dx}[/tex3]
, o que reflete no deslocamento das cargas nas superfícies das placas (sendo isso a própria corrente gerada);
- No movimento infinitesimal, uma parcela infinitesimal [tex3]\mathsf{dq}[/tex3]
de carga é deslocada;
- A densidade superficial de corrente permanece constante, porque não há injeção ou perda de cargas no processo.
A densidade nessa parametrização é: [tex3]\mathsf{\sigma \ = \ \dfrac{dq}{dA} \ \rightarrow \ \sigma \ = \ \dfrac{dq}{a \ dx}}[/tex3]
Sendo essa constante:
[tex3]\mathsf{\underbrace{\dfrac{\epsilon \cdot V}{d}}_{estático} \ = \underbrace{\dfrac{dq}{a \ dx}}_{em \ movimento}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{dq \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d} \cdot a \ dx}[/tex3]
Diferenciando pelo tempo:
[tex3]\mathsf{\dfrac{dq}{dt} \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V}{d} \cdot a \ \dfrac{dx}{dt} \ \rightarrow \ I \ = \ \dfrac{\epsilon \cdot V \cdot a \cdot v}{d}}[/tex3]
Para calcular o campo/indução [tex3]\mathsf{\vec{B}}[/tex3]
, ao invés de usar a lei de Biot-Savart (complexa), usaremos a lei de Ampère.
Primeiramente, ao dividirmos a corrente laminar em infinitas linhas de corrente [tex3]\mathsf{i}[/tex3]
, levando em conta mais uma vez que [tex3]\mathsf{d \ <<< \ a}[/tex3]
(placa "infinitamente" grande - espraiamento desprezível), percebe-se que cada linha de corrente contribui apenas na direção perpendicular ao movimento.
Por fim, a amperiana desenvolvida por [tex3]\mathsf{\vec{B}}[/tex3]
está em um plano paralelo ao campo elétrico [tex3]\mathsf{\vec{E}}[/tex3]
mantido entre as placas do capacitor, de forma que o fluxo do campo elétrico e sua variação nessa amperiana são [tex3]\mathsf{0}[/tex3]
.
Aplicando a lei de Ampère:
[tex3]\mathsf{\oint \vec{B} \cdot \vec{dl} \ = \ \mu \cdot I_{enc} \ + \ \mu \cdot \epsilon \cdot \cancelto{0}{\dfrac{\partial \Phi_{el}}{\partial t}}}[/tex3]
A amperiana engloba a corrente [tex3]\mathsf{I_{enc} \ = \ I:}[/tex3]
[tex3]\mathsf{B \cdot \cancel{a} \ = \ \mu \cdot \dfrac{\epsilon \cdot V \cdot \cancel{a} \cdot v}{d} \ \therefore}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{B \ = \ \dfrac{\mu \cdot \epsilon \cdot V \cdot v}{d}}}}[/tex3]
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
Poli-USP