Física III ⇒ (FB) Resistores Tópico resolvido

[careca]

Encontre a resistência elétrica, do circuito anterior, entre os pontos A e B. As resistências das arestas do hexágono maior são iguais a R, já as do hexágono menor valem R/2. A resistência de cada fio entre os hexágonos vale R/2 ea dos fios no interior do menor valem R/4.

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Resposta

---

13R/20

[FelipeMartin]

existe uma simetria ao longo da reta AB. Então dá pra igualar os potenciais dos pontos simétricos em relação a essa reta. Assim:

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Ainda assim dá muita conta depois disso.
Eu encontrei [tex3]\frac9{20}R[/tex3]

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[tex3]\frac9{20}R[/tex3]

, mas talvez eu tenha errado algo.

[careca]

Eu também fiz baseado nessa simetria, e deu um gabarito diferente, mas não lembro quanto foi. De qualquer forma, obrigado.

[FelipeMartin]

careca, na pior das hipóteses, vira um sistema com 23 equações lineares.

[FelipeMartin]

Vamos lá, na força bruta. Imponha [tex3]V_A = 0[/tex3]

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[tex3]V_A = 0[/tex3]

.

Veja que maravilha

CORRENTE.png (128.81 KiB) Exibido 143 vezes

as equações dos nós são:
nó A: [tex3]I = 2I_1+I_4[/tex3]

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[tex3]I = 2I_1+I_4[/tex3]

nó C: [tex3]I_1 = I_2+I_5[/tex3]

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[tex3]I_1 = I_2+I_5[/tex3]

nó D: [tex3]I_2=I_3+I_6[/tex3]

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[tex3]I_2=I_3+I_6[/tex3]

nó B: [tex3]I = 2I_3+I_7[/tex3]

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[tex3]I = 2I_3+I_7[/tex3]

nó G: [tex3]I_4 = 2I_8 +I_{11}[/tex3]

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[tex3]I_4 = 2I_8 +I_{11}[/tex3]

nó E: [tex3]I_5 + I_8 = I_9 + I_{12}[/tex3]

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[tex3]I_5 + I_8 = I_9 + I_{12}[/tex3]

nó F: [tex3]I_9+I_{13} +I_6 = I_{10}[/tex3]

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[tex3]I_9+I_{13} +I_6 = I_{10}[/tex3]

nó I: [tex3]I_{14} +2I_{10} = I_7[/tex3]

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[tex3]I_{14} +2I_{10} = I_7[/tex3]

temos 15 variáveis e 8 equações. Falta adicionar 14 equações e [tex3]8[/tex3]

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[tex3]8[/tex3]

variáveis. São as leis de Ohm:

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[tex3]V_C = I_1R, V_D - V_C = I_2R, V_B - V_D = I_3R \implies V_C = RI_1, V_D = R(I_1+I_2), V_B = R(I_1+I_2+I_3)[/tex3]

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[tex3]V_C = I_1R, V_D - V_C = I_2R, V_B - V_D = I_3R \implies V_C = RI_1, V_D = R(I_1+I_2), V_B = R(I_1+I_2+I_3)[/tex3]

[tex3]V_G = \frac R2 I_4, V_E = V_G + I_8 \frac R2 = V_C + I_5 \frac R2, V_F = V_E + I_9\frac R2= V_D + I_6 \frac R2, V_I = V_F+I_{10}\frac R2[/tex3]

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[tex3]V_G = \frac R2 I_4, V_E = V_G + I_8 \frac R2 = V_C + I_5 \frac R2, V_F = V_E + I_9\frac R2= V_D + I_6 \frac R2, V_I = V_F+I_{10}\frac R2[/tex3]

ou seja:
[tex3]V_G = \frac R2I_4, V_E = \frac R2(2I_1+I_5),V_F = \frac R2(2I_1+2I_2+I_6), V_I =\frac R2(2I_1+2I_2+I_6+I_{10}) [/tex3]

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[tex3]V_G = \frac R2I_4, V_E = \frac R2(2I_1+I_5),V_F = \frac R2(2I_1+2I_2+I_6), V_I =\frac R2(2I_1+2I_2+I_6+I_{10}) [/tex3]

[tex3]I_8 = 5I_1-I-I_2, I_5+I_9=2I_2+I_6 \iff I_9 = 4I_2-I_3-I_1 [/tex3]

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[tex3]I_8 = 5I_1-I-I_2, I_5+I_9=2I_2+I_6 \iff I_9 = 4I_2-I_3-I_1 [/tex3]

11 equações de correntes.

[tex3]V_B - V_I = I_7 \frac R2 \iff I_7 = 2I_1+2I_2+2I_3 - 2I_1-2I_2 - I_6 - I_{10} \iff I_7 + I_{10} = 2I_3 - I_6[/tex3]

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[tex3]V_B - V_I = I_7 \frac R2 \iff I_7 = 2I_1+2I_2+2I_3 - 2I_1-2I_2 - I_6 - I_{10} \iff I_7 + I_{10} = 2I_3 - I_6[/tex3]

12 equações de corrente.

[tex3]V_H - V_G = \frac R4 I_{11} \implies V_H = \frac R4 (I_{11} +2I_4)[/tex3]

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[tex3]V_H - V_G = \frac R4 I_{11} \implies V_H = \frac R4 (I_{11} +2I_4)[/tex3]

[tex3]V_I-V_H = \frac R4I_{14} \iff 4I_1+4I_2+2I_6+2I_{10} = I_{14} +I_{11}+2I_4[/tex3]

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[tex3]V_I-V_H = \frac R4I_{14} \iff 4I_1+4I_2+2I_6+2I_{10} = I_{14} +I_{11}+2I_4[/tex3]

13
[tex3]V_H - V_E = \frac R4 I_{12} \iff I_{11}+2I_4 = I_{12} + 4I_1+2I_5[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V_H - V_E = \frac R4 I_{12} \iff I_{11}+2I_4 = I_{12} + 4I_1+2I_5[/tex3]

14 equações de corrente. Partiu.

[tex3]I_4 = I-2I_1,I_5 = I_1-I_2, I_6 = I_2-I_3, I_7=I-2I_3[/tex3]

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[tex3]I_4 = I-2I_1,I_5 = I_1-I_2, I_6 = I_2-I_3, I_7=I-2I_3[/tex3]

.
próximas equações: [tex3]I_{11} = I_4-2I_8, I_{12} = I_5+I_8-I_9, I_{13} = I_{10}-I_6-I_9, I_{14} = I_{7} -2I_{10}[/tex3]

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[tex3]I_{11} = I_4-2I_8, I_{12} = I_5+I_8-I_9, I_{13} = I_{10}-I_6-I_9, I_{14} = I_{7} -2I_{10}[/tex3]

[tex3]I_3 = \frac{13I_1-6I_2}{11}[/tex3]

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[tex3]I_3 = \frac{13I_1-6I_2}{11}[/tex3]

só mais uma equação da corrente. Já termino.

[tex3]V_F-V_H = I_{13}\frac R4 \iff 4I_1+4I_2+2I_6=I_{13}+I_{11}+2I_4 [/tex3]

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[tex3]V_F-V_H = I_{13}\frac R4 \iff 4I_1+4I_2+2I_6=I_{13}+I_{11}+2I_4 [/tex3]

donde [tex3]I_2 = \frac9{16}I_1, I_3 = \frac78I_1, I =\frac{15}4I_1[/tex3]

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[tex3]I_2 = \frac9{16}I_1, I_3 = \frac78I_1, I =\frac{15}4I_1[/tex3]

dai
[tex3]V_B = R(I_1+I_2+I_3) = RI_1 \cdot \frac{39}{16} = \frac{13}{20}RI \implies R_{eq} = \frac{13}{20}R[/tex3]

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[tex3]V_B = R(I_1+I_2+I_3) = RI_1 \cdot \frac{39}{16} = \frac{13}{20}RI \implies R_{eq} = \frac{13}{20}R[/tex3]

[FelipeMartin]

Pronto. Revi minhas contas. Omiti muita coisa, mas, quem puder conferir agora verá que está tudo certo. De fato, [tex3]\frac{13}{20}R[/tex3]

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[tex3]\frac{13}{20}R[/tex3]

.

Existe uma maneira menos masoquista de fazer? Provavelmente, abusando das simetrias e usando as transformações delta-estrela.

Vídeo do Super Exatas relacionado https://www.youtube.com/watch?v=CHjD9tVolgI

Até consegui fazer usando a simetria e a delta estrela, mas dá muito trabalho colocar no fórum