Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST-2004) Pirâmide. Tópico resolvido

[Mars3M4]

A piramide de base retangular ABCD e vértice E tem volume 4.Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC, então o volume da piramide de base AMCD e vértice V é ?

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a)1
b)1,5
c)2
d)2,5
E)3

Agradeço

Resposta

---

gab b

[Ittalo25]

AMCD é um trapézio e então sua área é: [tex3]\frac{(AM+DC)\cdot AD }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(AM+DC)\cdot AD }{2}[/tex3]

mas [tex3]AM = \frac{DC}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AM = \frac{DC}{2}[/tex3]

, então a área fica: [tex3]\frac{(\frac{DC}{2}+DC)\cdot AD }{2} = \frac{3DC \cdot AD}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(\frac{DC}{2}+DC)\cdot AD }{2} = \frac{3DC \cdot AD}{4}[/tex3]

Agora falta a altura da pirâmide, ou seja, a distância de V até a base. Pode-se usar semelhança, mas com V é ponto médio, está óbvio que a distância de V até a base é metade da distância de E até a base. Ou seja, a nova pirâmide tem metade da altura de E-ABCD. Então o volume fica:

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot \frac{h}{2}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot \frac{h}{2}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8}[/tex3]

mas perceba que [tex3]\frac{DC \cdot AD \cdot h}{3} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{DC \cdot AD \cdot h}{3} = 4[/tex3]

, então:

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8} = \frac{3 \cdot 4}{8} = \boxed{1,5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8} = \frac{3 \cdot 4}{8} = \boxed{1,5}[/tex3]

[Mars3M4]

AMCD é um trapézio e então sua área é: [tex3]\frac{(AM+DC)\cdot AD }{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(AM+DC)\cdot AD }{2}[/tex3]

mas [tex3]AM = \frac{DC}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AM = \frac{DC}{2}[/tex3]

, então a área fica: [tex3]\frac{(\frac{DC}{2}+DC)\cdot AD }{2} = \frac{3DC \cdot AD}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(\frac{DC}{2}+DC)\cdot AD }{2} = \frac{3DC \cdot AD}{4}[/tex3]

Agora falta a altura da pirâmide, ou seja, a distância de V até a base. Pode-se usar semelhança, mas com V é ponto médio, está óbvio que a distância de V até a base é metade da distância de E até a base. Ou seja, a nova pirâmide tem metade da altura de E-ABCD. Então o volume fica:

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot \frac{h}{2}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot \frac{h}{2}}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8}[/tex3]

mas perceba que [tex3]\frac{DC \cdot AD \cdot h}{3} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{DC \cdot AD \cdot h}{3} = 4[/tex3]

, então:

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8} = \frac{3 \cdot 4}{8} = \boxed{1,5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3} \cdot \frac{3DC \cdot AD \cdot h}{8} = \frac{3 \cdot 4}{8} = \boxed{1,5}[/tex3]

Valeu, Ittalo xD!!