Ensino Superior ⇒ Campos conversativos Tópico resolvido

[magben]

Dado o campo vetorial [tex3]\vec{f}=\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right),\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)[/tex3]

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[tex3]\vec{f}=\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right),\left(\frac{y}{x^2+y^2}\right)[/tex3]

mostrar que [tex3]\int\limits_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=0[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{C}\vec{f}\cdot d\vec{r}=0[/tex3]

para toda curva fechada simples C, suave por partes, que circunda a origem.

Resposta

---

0

[παθμ]

magben,

[tex3]\nabla \times \vec{f}=\left(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right)\hat{z}.[/tex3]

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[tex3]\nabla \times \vec{f}=\left(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right)\hat{z}.[/tex3]

[tex3]f_x=\frac{x}{x^2+y^2} \Longrightarrow \frac{\partial f_x}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.[/tex3]

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[tex3]f_x=\frac{x}{x^2+y^2} \Longrightarrow \frac{\partial f_x}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.[/tex3]

[tex3]f_y=\frac{y}{x^2+y^2} \Longrightarrow \frac{\partial f_y}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.[/tex3]

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[tex3]f_y=\frac{y}{x^2+y^2} \Longrightarrow \frac{\partial f_y}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.[/tex3]

Portanto, [tex3]\nabla \times \vec{f}=0,[/tex3]

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[tex3]\nabla \times \vec{f}=0,[/tex3]

o que significa que [tex3]\oint_C \vec{f} \cdot d\vec{r}=0[/tex3]

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[tex3]\oint_C \vec{f} \cdot d\vec{r}=0[/tex3]

para qualquer curva fechada (nem é necessário que circunde a origem).