Física II ⇒ (FB) Termodinâmica + Eletrostática Tópico resolvido

[careca]

Um gás ideal tem f graus de liberdade e é mantido num recipiente isolado termicamente. O vaso tem dois êmbolos com cargas +Q e-Q distribuídas uniformemente nas superfícies dos êmbolos, os quais podem mover-se sem atrito. Em um determinado instante as cargas dos êmbolos são aumentadas K vezes com a ajuda de um agente externo. Determine a razão entre as temperaturas final e inicial do gás, bem como o trabalho feito pelo agente externo (o gás tem n mols).

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Resposta

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[tex3]\frac{T_2}{T_1} = \frac{2k^2+f}{2+f} [/tex3]

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[tex3]\frac{T_2}{T_1} = \frac{2k^2+f}{2+f} [/tex3]

e [tex3]W_{agente}=(k^2-1).nRT_1[/tex3]

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[tex3]W_{agente}=(k^2-1).nRT_1[/tex3]

[παθμ]

careca,

O trabalho que o agente externo realizou, considerando o processo como instantâneo, foi aumentar a energia potencial eletrosática. Por isso, para calcular o trabalho dele, basta determinar o aumento da energia do capacitor.

A força de atração entre as placas é [tex3]\frac{\sigma^2 A}{2\epsilon_0},[/tex3]

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[tex3]\frac{\sigma^2 A}{2\epsilon_0},[/tex3]

daí a pressão inicial do gás é [tex3]P_1=\frac{Q^2}{2\epsilon_0 A}.[/tex3]

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[tex3]P_1=\frac{Q^2}{2\epsilon_0 A}.[/tex3]

Sendo [tex3]l_1[/tex3]

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[tex3]l_1[/tex3]

a separação entre elas, [tex3]nRT_1=P_1V_1=\frac{Q^2 l_1}{2\epsilon_0A}.[/tex3]

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[tex3]nRT_1=P_1V_1=\frac{Q^2 l_1}{2\epsilon_0A}.[/tex3]

O aumento da energia potencial é [tex3]\Delta W_a=\frac{k^2 Q^2 l_1}{2\epsilon_0A}-\frac{Q^2 l_1}{2\epsilon_0 A}=\boxed{(k^2-1)nRT_1}[/tex3]

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[tex3]\Delta W_a=\frac{k^2 Q^2 l_1}{2\epsilon_0A}-\frac{Q^2 l_1}{2\epsilon_0 A}=\boxed{(k^2-1)nRT_1}[/tex3]

Considerando o sistema gás + placas, ele não realiza trabalho, pois ele se encontra no vácuo, num tubo sem atrito, além de não receber calor. Por isso, sua energia (energia interna do gás + energia potencial eletrostática) permanece constante.

Sendo [tex3]U=\frac{f}{2}nRT=\frac{f}{2}PV=\frac{f}{2} \frac{Q^2 l}{2\epsilon_0A}:[/tex3]

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[tex3]U=\frac{f}{2}nRT=\frac{f}{2}PV=\frac{f}{2} \frac{Q^2 l}{2\epsilon_0A}:[/tex3]

[tex3]E_2-E_1=\frac{k^2 Q^2 l_2}{2\epsilon_0 A}\left(1+\frac{f}{2}\right)-\frac{Q^2l_1}{2\epsilon_0A}\left(1+\frac{f}{2}\right)=nRT_1\left(1+\frac{f}{2}\right)\left(\frac{k^2 l_2}{l_1}-1\right).[/tex3]

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[tex3]E_2-E_1=\frac{k^2 Q^2 l_2}{2\epsilon_0 A}\left(1+\frac{f}{2}\right)-\frac{Q^2l_1}{2\epsilon_0A}\left(1+\frac{f}{2}\right)=nRT_1\left(1+\frac{f}{2}\right)\left(\frac{k^2 l_2}{l_1}-1\right).[/tex3]

O que forneceu o aumento de energia do sistema foi o agente externo, então [tex3]E_2-E_1= \Delta W_a \Longrightarrow \frac{l_2}{l_1}=\frac{2k^2+f}{k^2(2+f)}.[/tex3]

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[tex3]E_2-E_1= \Delta W_a \Longrightarrow \frac{l_2}{l_1}=\frac{2k^2+f}{k^2(2+f)}.[/tex3]

[tex3]\frac{P_2}{P_1}=\frac{k^2 Q^2/2\epsilon_0 A}{ Q^2/2\epsilon_0 A}=k^2.[/tex3]

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[tex3]\frac{P_2}{P_1}=\frac{k^2 Q^2/2\epsilon_0 A}{ Q^2/2\epsilon_0 A}=k^2.[/tex3]

[tex3]\frac{U_2}{U_1}=\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1} \frac{V_2}{V_1}=k^2 \frac{l_2}{l_1}=\boxed{\frac{2k^2+f}{2+f}}[/tex3]

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[tex3]\frac{U_2}{U_1}=\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2}{P_1} \frac{V_2}{V_1}=k^2 \frac{l_2}{l_1}=\boxed{\frac{2k^2+f}{2+f}}[/tex3]

O que me incomoda nessa resolução é que, nas condições do enunciado, o sistema nunca alcança o equilíbrio; ele oscila para sempre. A questão não está totalmente certa.