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Problema Proposto
19 - Na figura mostrada, que ponto notável é "E" para o triángulo ABC?

Falto ser mencionado no enunciado que A e C são pontos de tangência.
[tex3]∠EAC=∠AOC=∠ECA=∠CJA=45∘ (Teorema segmentos alternado*)\\
∠BAC=∠CJO\\
∠BCA=∠AOJ. (a.externo~de~ AOJC)\\
Sendo~ ∠AJO=α,~e~ ∠COJ=β \rightarrow ∠BAE=α, ~e~ ∠BCE=β\\
△AOJ: α+β+45^∘=90^∘⟹ α+β=45^∘\\
△ABC: α+β+45^∘+45^∘+∠ABC=180^∘ ⟹∠ABC=45^∘\\
∠AEC=90^∘, ∠ABC=\frac{∠AEC}{2}, AE=EC~\\ \therefore \boxed{\color{red}E ~é~circuncentro~de~of △ABC}.[/tex3]

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[tex3]∠EAC=∠AOC=∠ECA=∠CJA=45∘ (Teorema segmentos alternado*)\\
∠BAC=∠CJO\\
∠BCA=∠AOJ. (a.externo~de~ AOJC)\\
Sendo~ ∠AJO=α,~e~ ∠COJ=β \rightarrow ∠BAE=α, ~e~ ∠BCE=β\\
△AOJ: α+β+45^∘=90^∘⟹ α+β=45^∘\\
△ABC: α+β+45^∘+45^∘+∠ABC=180^∘ ⟹∠ABC=45^∘\\
∠AEC=90^∘, ∠ABC=\frac{∠AEC}{2}, AE=EC~\\ \therefore \boxed{\color{red}E ~é~circuncentro~de~of △ABC}.[/tex3]

(Solução:ACB)

*O teorema do segmento alternado afirma que um ângulo entre uma tangente e uma corda através do ponto de contato é igual ao ângulo no segmento alternado. No diagrama acima, o ângulo CEA e o ângulo CDE são iguais.

Outra solução:(Ignacio Larrossa)