Física II ⇒ (FB) Acústica

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Um avião supersônico (ponto A) voa a uma velocidade v (v > vs, vsen(theta) = vs: velocidade do som) a uma distância h sobre o ponto P, conforme a figura a seguir. A trajetória do avião faz um ângulo beta com a horizontal e o ponto P parte do repouso no instante mostrado na figura. Calcule o valor mínimo da aceleração constante do ponto P para que a onda de choque (ponto C)n não o alcance. Escreva sua resposta como função da velocidade do som, h, theta e beta.

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Resposta

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[tex3]a\geq \frac{v_{som}^2}{hsen[2(\theta +\beta )]}[/tex3]

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[tex3]a\geq \frac{v_{som}^2}{hsen[2(\theta +\beta )]}[/tex3]

[παθμ]

Primeiramente, veja que [tex3]\theta[/tex3]

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[tex3]\theta[/tex3]

é o ângulo que as linhas pontilhadas, que delimitam o limite da onda de choque, formam com a velocidade do avião. Para achar a velocidade da onda de choque na direção perpendicular a ela mesma, decomponha a velocidade do avião na direção perpendicular à onda de choque, obtendo [tex3]v \sin(\theta)=v_s.[/tex3]

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[tex3]v \sin(\theta)=v_s.[/tex3]

Ou seja, a onda de choque avança com velocidade [tex3]v_s[/tex3]

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[tex3]v_s[/tex3]

na direção perpendicular a ela mesma.

Agora, vamos achar a distância inicial da onda de choque ao ponto P. Fazemos isso igualando (hipotenusa vezes distância inicial) a (cateto 1 vezes cateto 2) (pois essas duas expressões são o dobro da área do triângulo):

[tex3]\frac{h}{\sin(\theta+\beta)} \cdot d_0=h \cdot \frac{h}{\tan(\beta+\theta)} \Longrightarrow d_0=h \cos(\beta + \theta).[/tex3]

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[tex3]\frac{h}{\sin(\theta+\beta)} \cdot d_0=h \cdot \frac{h}{\tan(\beta+\theta)} \Longrightarrow d_0=h \cos(\beta + \theta).[/tex3]

Agora, precisamos também decompor o deslocamento do ponto P na direção perpendicular à onda de choque. Como ela forma um ângulo [tex3]\theta + \beta[/tex3]

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[tex3]\theta + \beta[/tex3]

com a horizontal, a componente desse deslocamento na direção desejada é [tex3]\frac{at^2}{2} \sin(\theta+\beta).[/tex3]

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[tex3]\frac{at^2}{2} \sin(\theta+\beta).[/tex3]

Então agora nós podemos obter a distância [tex3]d(t)[/tex3]

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[tex3]d(t)[/tex3]

do ponto P à onda de choque. Isso é a distância inicial, mais a distância pela qual o ponto se afastou, menos a distância que a onda de choque avançou:

[tex3]d(t)=\frac{a \sin(\theta+\beta)}{2}t^2-v_s t+h \cos(\theta + \beta).[/tex3]

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[tex3]d(t)=\frac{a \sin(\theta+\beta)}{2}t^2-v_s t+h \cos(\theta + \beta).[/tex3]

O valor mínimo de d(t) é [tex3]d_V=\frac{- \Delta}{4A}.[/tex3]

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[tex3]d_V=\frac{- \Delta}{4A}.[/tex3]

Para a aceleração mínima, queremos [tex3]d_V=0,[/tex3]

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[tex3]d_V=0,[/tex3]

então:

[tex3]\Delta=B^2-4AC =0 \Longrightarrow v_s^2-2ah \sin( \theta+ \beta) \cos(\beta + \theta)=0 \Longrightarrow v_s^2 - ah \sin[2(\theta + \beta)]=0 \Longrightarrow \boxed{a=\frac{v_s^2}{h \sin[2(\theta+\beta)]}} [/tex3]

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[tex3]\Delta=B^2-4AC =0 \Longrightarrow v_s^2-2ah \sin( \theta+ \beta) \cos(\beta + \theta)=0 \Longrightarrow v_s^2 - ah \sin[2(\theta + \beta)]=0 \Longrightarrow \boxed{a=\frac{v_s^2}{h \sin[2(\theta+\beta)]}} [/tex3]