Peço uma ajudinha desse exercício que retirei duma lista da faculdade, e não consigo resolver
Calcule ∫∫R √(1−x2−y2)dA onde R é o disco x2+y2≤1. O valor da integral obtido se refere ao volume de qual sólido?
Ensino Superior ⇒ Cálculo 2 - Outra dúvida sobre calculo de volumes Tópico resolvido
- demidovich12
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Mai 2021
16
23:58
Re: Cálculo 2 - Outra dúvida sobre calculo de volumes
Observe
Uma solução:
Passando para coordenadas polares, temos que;
x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ)
Substituindo em x² + y² = 1 , vem;
r².cos²(θ) + r².sen²(θ) = 1
r².[ cos²(θ) + sen²(θ) ] = 1
r².1 = 1
r = ± 1
Como r é positivo ( obviamente ) , logo r = 1 , então,
0 ≤ r ≤ 1.
Por outro lado,
0 ≤ θ ≤ 2π ( volta completa do disco x² + y² = 1 , pois não há restrição ).
Assim,
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r \ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left[\frac{r^2}{2}
- \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left(\frac{1}{2}
- \frac{1}{4}-0+0\right)d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.[\theta ]_{0}^{2π} = \frac{1}{4}.(2π-0) = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}[/tex3] .
Portanto , o volume do sólido é : V = [tex3]\frac{π}{2} \ u.v.[/tex3] .
Graficamente:
Como [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(1-x^2-y^2) \ dA[/tex3] , então [tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}dxdy\int\limits_{
0}^{1-x^2-y^2}\ dz[/tex3] , ou seja ,
0 ≤ z ≤ 1 - x² - y² , z = 0 significa dizer que o sólido está acima do plano xy( z = 0 ) , em outras palavras z = 0 funciona como uma espécie de uma "tampa" ( ou "piso" ) do sólido. O sólido é formado pela interseção do plano z = 0 com o parabolóide z = 1 - x² - y² e o mesmo está localizado acima do plano xy.
A região R : x² + y² ≤ 1 é justamente a projeção do sólido sobre o plano xy , perceba que fazendo z = 0 em z = 1 - x² - y² , temos:
0 = 1 - x² - y²
x² + y² = 1
Ou
x² + y² ≤ 1 ( região interna desse disco ).
Obs. x² + y² = r² , e o jacobiano é o mesmo da questão anterior postada por você. Você pode encontrar o desenvolvimento desse jacobiano aqui mesmo no fórum ou em PDF no Google,
Excelente estudo!
Uma solução:
Passando para coordenadas polares, temos que;
x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ)
Substituindo em x² + y² = 1 , vem;
r².cos²(θ) + r².sen²(θ) = 1
r².[ cos²(θ) + sen²(θ) ] = 1
r².1 = 1
r = ± 1
Como r é positivo ( obviamente ) , logo r = 1 , então,
0 ≤ r ≤ 1.
Por outro lado,
0 ≤ θ ≤ 2π ( volta completa do disco x² + y² = 1 , pois não há restrição ).
Assim,
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(1-r^2).r \ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r-r^3)\ drd\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left[\frac{r^2}{2}
- \frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \int\limits_{0}^{2π}\left(\frac{1}{2}
- \frac{1}{4}-0+0\right)d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.\int\limits_{0}^{2π}d\theta [/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{4}.[\theta ]_{0}^{2π} = \frac{1}{4}.(2π-0) = \frac{2π}{4} = \frac{π}{2}[/tex3] .
Portanto , o volume do sólido é : V = [tex3]\frac{π}{2} \ u.v.[/tex3] .
Graficamente:
Como [tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}(1-x^2-y^2) \ dA[/tex3] , então [tex3]V = \int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}dxdy\int\limits_{
0}^{1-x^2-y^2}\ dz[/tex3] , ou seja ,
0 ≤ z ≤ 1 - x² - y² , z = 0 significa dizer que o sólido está acima do plano xy( z = 0 ) , em outras palavras z = 0 funciona como uma espécie de uma "tampa" ( ou "piso" ) do sólido. O sólido é formado pela interseção do plano z = 0 com o parabolóide z = 1 - x² - y² e o mesmo está localizado acima do plano xy.
A região R : x² + y² ≤ 1 é justamente a projeção do sólido sobre o plano xy , perceba que fazendo z = 0 em z = 1 - x² - y² , temos:
0 = 1 - x² - y²
x² + y² = 1
Ou
x² + y² ≤ 1 ( região interna desse disco ).
Obs. x² + y² = r² , e o jacobiano é o mesmo da questão anterior postada por você. Você pode encontrar o desenvolvimento desse jacobiano aqui mesmo no fórum ou em PDF no Google,
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