(Demonstração) Teorema do Excentro
Enviado: 06 Dez 2020, 20:37
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A seguinte demonstração será de fundamental importância para a próxima onde tratarei de trigonometria!
TEOREMA 1
Dado um triângulo ABC de lados [tex3]a,b,c[/tex3] , ao traçarmos a bissetriz [tex3]AD[/tex3] até que encontre seu Excentro [tex3]M[/tex3] , estará verificada a relação
[tex3]\frac{AM}{MD}=\frac{b+c}{a}[/tex3]
Faça [tex3]CD=n[/tex3] e teremos [tex3]BD=a-n[/tex3]
Trace CM e pelo teorema da bissetriz externa no triângulo ACD temos
[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{n}{b}[/tex3]
Trace AM e pelo teorema da bissetriz externa em ABD temos
[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{a-n}{c}[/tex3]
Pela propriedade das médias entre as duas equações nós temos
[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{a-n+n}{c+b}[/tex3] donde sai
[tex3]\frac{MD}{AM}=\frac{b+c}{a}[/tex3]
TEOREMA 2
[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{c-a}{b}[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna em BCN temos
[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{a}{CN}[/tex3]
Pelo teorema da bissetriz interna ABN
[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{c}{b+CN}[/tex3]
Pelo teorema das proporções
[tex3]\frac{BM}{MN}=\frac{c-a}{b+CN-CN}[/tex3] e assim está provado