um ângulo θ com a horizontal. Em seguida, permite-se que a fita desenrole enquanto desce o declive.
Em quanto tempo a fita estará completamente desenrolada?
Resposta
[tex3]\sqrt{3L/gsin\theta }[/tex3]
IME/ITA ⇒ IRODOV - Fita e rampa
Nov 2020
17
01:24
IRODOV - Fita e rampa
Uma fita flexíıvel de comprimento L é firmemente enrolada e a sua extremidade livre é fixada, por um prego, à superfície de um plano inclinado que forma
um ângulo θ com a horizontal. Em seguida, permite-se que a fita desenrole enquanto desce o declive.
Em quanto tempo a fita estará completamente desenrolada?
[tex3]\sqrt{3L/gsin\theta }[/tex3]
Obrigado pela ajuda!
um ângulo θ com a horizontal. Em seguida, permite-se que a fita desenrole enquanto desce o declive.
Em quanto tempo a fita estará completamente desenrolada?
[tex3]\sqrt{3L/gsin\theta }[/tex3]
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A13235378
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Nov 2020
17
09:16
Re: IRODOV - Fita e rampa
Olá:
Podemos considerar o enrolamento do fio como um disco fino.
Assim,
Para um dado instante t , teremos M (t) massa do disco e R (t) raio do disco.
Analisando a dinâmica linear:
[tex3]M (t)gsen\theta - T = M (t).a[/tex3]
Analisando a dinâmica rotacional:
Torque resultante = momento de inercia. aceleração angular (modularmente)
Considerando o centro do disco como o ponto de rotação, a única força que fará torque é a tração.
[tex3]T.R (t)=I.\alpha=I. \frac{a}{R (t)}[/tex3]
O momento de inercia para um disco fino é dado por:
[tex3]I=\frac{mR^2}{2}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]T=\frac{M (t)R (t)^2.a}{2}[/tex3]
Substituindo T, encontramos que a aceleração linear será de:
[tex3]a=\frac{2}{3}.g.sen\theta[/tex3]
Perceba que essa aceleração linear é constante com o tempo.
Logo, podemos aplicar uma cinematica:
[tex3]S=\frac{at^2}{2}[/tex3]
Substituindo S por L e isolando t:
[tex3]t=\sqrt{3L/gsin\theta }[/tex3]
Podemos considerar o enrolamento do fio como um disco fino.
Assim,
Para um dado instante t , teremos M (t) massa do disco e R (t) raio do disco.
Analisando a dinâmica linear:
[tex3]M (t)gsen\theta - T = M (t).a[/tex3]
Analisando a dinâmica rotacional:
Torque resultante = momento de inercia. aceleração angular (modularmente)
Considerando o centro do disco como o ponto de rotação, a única força que fará torque é a tração.
[tex3]T.R (t)=I.\alpha=I. \frac{a}{R (t)}[/tex3]
O momento de inercia para um disco fino é dado por:
[tex3]I=\frac{mR^2}{2}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]T=\frac{M (t)R (t)^2.a}{2}[/tex3]
Substituindo T, encontramos que a aceleração linear será de:
[tex3]a=\frac{2}{3}.g.sen\theta[/tex3]
Perceba que essa aceleração linear é constante com o tempo.
Logo, podemos aplicar uma cinematica:
[tex3]S=\frac{at^2}{2}[/tex3]
Substituindo S por L e isolando t:
[tex3]t=\sqrt{3L/gsin\theta }[/tex3]
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Nov 2020
17
09:49
Re: IRODOV - Fita e rampa
Olá, ITAIME.
Primeiramente, devemos entender que o movimento da fita (ou do rolo de fita) será acelerado e descendente. Desse modo, podemos aplicar as equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado:
Agora, precisamos determinar [tex3]\text a,[/tex3] a aceleração. O movimento de rotação da fita é causado por uma força apenas, que gera um momento de rotação. Analisando as forças, temos que:
Mas, o momento será dado por:
Contudo, [tex3]\text I = \frac{\text{m R}^2}{2}[/tex3] e [tex3]\gamma = \frac{\text a}{\text R},[/tex3] portanto:
Voltando na análise de forças, ficamos com:
Agora, podemos voltar na equação do tempo:
Observação, não vi a resolução anterior e já havia digitado tudo. Irei deixar essa mais essa resolução para auxiliar futuras dúvidas.
Extras:
Aplicações do Momento de Inércia (3 de 11): https://www.youtube.com/watch?v=cPMSMDSY-rc;
Energia Cinética Rotacional: https://www.youtube.com/watch?v=REIP2mf6sIQ;
Inércia: https://www.youtube.com/watch?v=Ic_wFYu8xVs.
Primeiramente, devemos entender que o movimento da fita (ou do rolo de fita) será acelerado e descendente. Desse modo, podemos aplicar as equações do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado:
[tex3]\mathrm{
\Delta s = \cancelto{0}{v_ot} + \frac{at^2}{2} \, \therefore \, t= \sqrt{\frac{2L}{a}}
}[/tex3]
\Delta s = \cancelto{0}{v_ot} + \frac{at^2}{2} \, \therefore \, t= \sqrt{\frac{2L}{a}}
}[/tex3]
Agora, precisamos determinar [tex3]\text a,[/tex3] a aceleração. O movimento de rotação da fita é causado por uma força apenas, que gera um momento de rotação. Analisando as forças, temos que:
[tex3]\mathrm{
P_x - F = F_R \iff mg \sen \vartheta - F = ma
}[/tex3]
P_x - F = F_R \iff mg \sen \vartheta - F = ma
}[/tex3]
Mas, o momento será dado por:
[tex3]\mathrm{
\tau = F \cdot R; \, \tau = I \cdot \gamma \, \, \therefore \, \,F \cdot R = I \cdot \gamma
}[/tex3]
\tau = F \cdot R; \, \tau = I \cdot \gamma \, \, \therefore \, \,F \cdot R = I \cdot \gamma
}[/tex3]
Contudo, [tex3]\text I = \frac{\text{m R}^2}{2}[/tex3] e [tex3]\gamma = \frac{\text a}{\text R},[/tex3] portanto:
[tex3]\mathrm{
F \cdot R = \frac{m R^2}{2} \cdot \frac{a}{R} \, \, \therefore \, \, F = \frac{ma}{2}
}[/tex3]
F \cdot R = \frac{m R^2}{2} \cdot \frac{a}{R} \, \, \therefore \, \, F = \frac{ma}{2}
}[/tex3]
Voltando na análise de forças, ficamos com:
[tex3]\mathrm{
mg \sen \vartheta - \frac{ma}{2} = ma \, \, \therefore \, \, a= \frac{2g\sen \vartheta}{3}
}[/tex3]
mg \sen \vartheta - \frac{ma}{2} = ma \, \, \therefore \, \, a= \frac{2g\sen \vartheta}{3}
}[/tex3]
Agora, podemos voltar na equação do tempo:
[tex3]\mathrm{
t= \sqrt{\frac{2L}{\frac{2g\sen \vartheta}{3}}} \, \therefore \,t=\sqrt{\frac{3L}{g \sen \vartheta}}
}[/tex3]
t= \sqrt{\frac{2L}{\frac{2g\sen \vartheta}{3}}} \, \therefore \,t=\sqrt{\frac{3L}{g \sen \vartheta}}
}[/tex3]
Observação, não vi a resolução anterior e já havia digitado tudo. Irei deixar essa mais essa resolução para auxiliar futuras dúvidas.
Extras:
Aplicações do Momento de Inércia (3 de 11): https://www.youtube.com/watch?v=cPMSMDSY-rc;
Energia Cinética Rotacional: https://www.youtube.com/watch?v=REIP2mf6sIQ;
Inércia: https://www.youtube.com/watch?v=Ic_wFYu8xVs.
Nov 2020
19
08:44
Re: IRODOV - Fita e rampa
Olá, desculpa minha falta de entendimento mas eu tenho uma dúvida.A13235378 escreveu: ↑17 Nov 2020, 09:16 Olá:
Podemos considerar o enrolamento do fio como um disco fino.
Assim,
Para um dado instante t , teremos M (t) massa do disco e R (t) raio do disco.
Analisando a dinâmica linear:
[tex3]M (t)gsen\theta - T = M (t).a[/tex3]
Analisando a dinâmica rotacional:
Torque resultante = momento de inercia. aceleração angular (modularmente)
Considerando o centro do disco como o ponto de rotação, a única força que fará torque é a tração.
[tex3]T.R (t)=I.\alpha=I. \frac{a}{R (t)}[/tex3]
O momento de inercia para um disco fino é dado por:
[tex3]I=\frac{mR^2}{2}[/tex3]
Substituindo:
[tex3]T=\frac{M (t)R (t)^2.a}{2}[/tex3]
Substituindo T, encontramos que a aceleração linear será de:
[tex3]a=\frac{2}{3}.g.sen\theta[/tex3]
Perceba que essa aceleração linear é constante com o tempo.
Logo, podemos aplicar uma cinematica:
[tex3]S=\frac{at^2}{2}[/tex3]
Substituindo S por L e isolando t:
[tex3]t=\sqrt{3L/gsin\theta }[/tex3]
Porque na análise da dinâmica de translação você não considerou a contribuição da variação de massa do sistema? Já que isso é um sistema de massa variável nós não devíamos usar que na direção tangencial F =Mdv/dr + udm/dt onde u é a velocidade relativa da ejeção de massa em relação ao corpo analisado?
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