Ensino Superior ⇒ número de caixas Tópico resolvido

[streg]

Marcos guardou 320 munições de fuzil em varias caixas, de modo que a segunda caixa ficou com tantas munições quanto a primeira; a terceira ficou com tantas munições quanto as duas anteriores juntas; a quarta caixa ficou com igual numero de munições que a soma das três anteriores e assim por diante, ate guardar todas as munições. quantas munições marcos guardou na quinta caixa, sabendo que ele usou o maior numero possível de caixas?

[csmarcelo]

Perceba que cada caixa, a partir da segunda, dobra a quantidade de munição.

Assim, fazendo de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

a quantidade de munição nas duas primeiras caixas:

[tex3]x+x+2x+4x+\underbrace{8x}_{\text{quantidade da quinta caixa}}+...+nx=320[/tex3]

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[tex3]x+x+2x+4x+\underbrace{8x}_{\text{quantidade da quinta caixa}}+...+nx=320[/tex3]

Daí

[tex3]x(1+{\color{red}1+2+4+8+...+n})=320[/tex3]

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[tex3]x(1+{\color{red}1+2+4+8+...+n})=320[/tex3]

Repare que as parcelas em vermelho formam uma PG onde [tex3]a_1=1[/tex3]

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[tex3]a_1=1[/tex3]

e [tex3]r=2[/tex3]

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[tex3]r=2[/tex3]

.

Fazendo de [tex3]m[/tex3]

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[tex3]m[/tex3]

a quantidade de termos da PG, da soma dos termos de uma PG finita:

[tex3]S=\frac{a_1(q^m-1)}{q-1}=\frac{(2^m-1)}{2-1}=2^m-1[/tex3]

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[tex3]S=\frac{a_1(q^m-1)}{q-1}=\frac{(2^m-1)}{2-1}=2^m-1[/tex3]

Logo,

[tex3]x(1+2^m-1)=x\cdot2^m=320[/tex3]

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[tex3]x(1+2^m-1)=x\cdot2^m=320[/tex3]

E como

[tex3]320=5\cdot2^6[/tex3]

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[tex3]320=5\cdot2^6[/tex3]

Temos que

[tex3]x=5[/tex3]

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[tex3]x=5[/tex3]

* repare que [tex3]x[/tex3] é da forma [tex3]5\cdot2^p,p\in\{0,1,2,3,4,5\}[/tex3]. Como queremos a maior quantidade possível de caixas, ou seja, [tex3]n[/tex3] o maior possível, devemos ter a menor quantidade possível de munição por caixa, o que faz com que [tex3]p[/tex3] seja igual a zero.

Assim a quantidade da quinta caixa é [tex3]8\cdot5=40[/tex3]

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[tex3]8\cdot5=40[/tex3]

.

[chato01]

Dúvida. 320=5*2^6
Onde saiu esse 6, melho como você encontrou esse 6

[petras]

chato01,

320 = 5.64 = 5.2⁶

É essa a dúvida?

[chato01]

X.2^m =320

Para você achar o valor de x e o valor de m
Você foi chutando até achar uma combinação que de 320. No caso 5.2⁶ =320

[petras]

chato01,
Não foi chute o que ele fez..ele encontrou a relação antes..x.2^m =320

[chato01]

Então, se eu usar 10.2⁵ = 230
Estaria errado porquê?

[petras]

chato01,

Agora entendi sua dúvida...Ele não pode usar 10 .2^6 por que ele precisa usar o maior número de caixas. Com 10 em cada caixa teríamos 6 caixas e com 5. 7 caixas.