Olimpíadas ⇒ (Argentina) Propriedades da divisibilidade Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

Determinar o maior número natural de 6 dígitos, todos distintos de zero, que é múltiplo do número que resulta ao apagar o primeiro dígito da esquerda.

Resposta

---

928125

[Ittalo25]

[tex3]\overline{bcdef} | \overline{abcdef}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\overline{bcdef} | \overline{abcdef}[/tex3]

[tex3]\overline{bcdef} | 10^5a+\overline{bcdef}[/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} | 10^5a+\overline{bcdef}[/tex3]

[tex3]\overline{bcdef} | 10^5a[/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} | 10^5a[/tex3]

[tex3]\overline{bcdef} | 2^5\cdot 5^5 \cdot a[/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} | 2^5\cdot 5^5 \cdot a[/tex3]

Como procura-se o maior número, é natural fazer [tex3]a=9 [/tex3]

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[tex3]a=9 [/tex3]

e ver se é possível isso acontecer.

[tex3]\overline{bcdef} | 2^5\cdot 5^5 \cdot 9[/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} | 2^5\cdot 5^5 \cdot 9[/tex3]

[tex3]2^5 \cdot 9 [/tex3]

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[tex3]2^5 \cdot 9 [/tex3]

tem apenas 3 dígitos, sendo assim [tex3]\overline{bcdef} [/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} [/tex3]

é múltiplo de 5, ou seja, f=0 ou f=5, mas todos os dígitos são distintos de zero.

então f=5, portanto [tex3]\overline{bcdef} [/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} [/tex3]

é ímpar e portanto:

[tex3]\overline{bcdef} | 5^5 \cdot 9[/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} | 5^5 \cdot 9[/tex3]

[tex3]5^4 \cdot 9 [/tex3]

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[tex3]5^4 \cdot 9 [/tex3]

tem 4 dígitos, sendo assim: [tex3]\overline{bcdef} = 5^5 \cdot 9 = 28125[/tex3]

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[tex3]\overline{bcdef} = 5^5 \cdot 9 = 28125[/tex3]