(Demonstração) Distancia entre o Circuncentro e o Baricentro
Enviado: 06 Jun 2020, 14:35
Esboçe um [tex3]\Delta ABC[/tex3]
qualquer tal que [tex3]R,r[/tex3]
são os raios da circunferencia circunscrita e inscrita, respectivamente, [tex3]O[/tex3]
o circuncentro,[tex3]AB=c,AC=b,BC=a[/tex3]
e [tex3]G[/tex3]
o baricentro PARTIU!!
Pede-se [tex3]OG=x[/tex3]
Prolongue [tex3]BG[/tex3] até que intercepte [tex3]AC[/tex3] em [tex3]N[/tex3] e a circunferencia em [tex3]P[/tex3]
Aplicando potencia de ponto em [tex3]G[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=BG*PG[/tex3]
Sabe-se que [tex3]BN=m=\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}{2}[/tex3] pelas proporções do baricentro
[tex3]BG=\frac{2m}{3}[/tex3] e [tex3]GN=\frac{m}{3}[/tex3] então
[tex3]R^2-x^2=\frac{2m}{3}*(\frac{m}{3}+PN)[/tex3]
Aplicando potencia de ponto em N temos
[tex3]\frac{b²}{4}=m*PN[/tex3]
[tex3]PN=\frac{b^2}{4m}[/tex3] SUBSTITUINDO EM CIMA
[tex3]R^2-x^2=\frac{2m^2}{9}+\frac{2m}{3}*\frac{b^2}{4m}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{2m^2}{9}+\frac{b^2}{6}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{2}{9}*\frac{(2(a^2+c^2)-b^2)}{4}+\frac{b^2}{6}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{(2a^2+2c^2-b^2)}{18}+\frac{b^2}{6}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{(2a^2+2c^2-b^2)+3b²}{18}[/tex3]
POR FIM
[tex3]x²=R²-\frac{(a²+b²+c²)}{9}[/tex3] Onde [tex3]R²=\frac{(abc)^2}{16p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
----------------EXTRA---------------------
[tex3]a²+b²+c²=k[/tex3]
[tex3]k=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)[/tex3]
[tex3]k=4p²-2(p²+4Rr+r²)[/tex3]
[tex3]k=2p²-8Rr-2r²[/tex3] então
[tex3]x²=\frac{9R²-2p²+8Rr+2r²}{9}[/tex3] TAMBÉM É UMA SAÍDA LEMBRANDO QUE [tex3]r=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}[/tex3]
PIMBADA
Pede-se [tex3]OG=x[/tex3]
Prolongue [tex3]BG[/tex3] até que intercepte [tex3]AC[/tex3] em [tex3]N[/tex3] e a circunferencia em [tex3]P[/tex3]
Aplicando potencia de ponto em [tex3]G[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=BG*PG[/tex3]
Sabe-se que [tex3]BN=m=\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}{2}[/tex3] pelas proporções do baricentro
[tex3]BG=\frac{2m}{3}[/tex3] e [tex3]GN=\frac{m}{3}[/tex3] então
[tex3]R^2-x^2=\frac{2m}{3}*(\frac{m}{3}+PN)[/tex3]
Aplicando potencia de ponto em N temos
[tex3]\frac{b²}{4}=m*PN[/tex3]
[tex3]PN=\frac{b^2}{4m}[/tex3] SUBSTITUINDO EM CIMA
[tex3]R^2-x^2=\frac{2m^2}{9}+\frac{2m}{3}*\frac{b^2}{4m}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{2m^2}{9}+\frac{b^2}{6}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{2}{9}*\frac{(2(a^2+c^2)-b^2)}{4}+\frac{b^2}{6}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{(2a^2+2c^2-b^2)}{18}+\frac{b^2}{6}[/tex3]
[tex3]R^2-x^2=\frac{(2a^2+2c^2-b^2)+3b²}{18}[/tex3]
POR FIM
[tex3]x²=R²-\frac{(a²+b²+c²)}{9}[/tex3] Onde [tex3]R²=\frac{(abc)^2}{16p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex3]
----------------EXTRA---------------------
[tex3]a²+b²+c²=k[/tex3]
[tex3]k=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)[/tex3]
[tex3]k=4p²-2(p²+4Rr+r²)[/tex3]
[tex3]k=2p²-8Rr-2r²[/tex3] então
[tex3]x²=\frac{9R²-2p²+8Rr+2r²}{9}[/tex3] TAMBÉM É UMA SAÍDA LEMBRANDO QUE [tex3]r=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}[/tex3]
PIMBADA