IME / ITA ⇒ Simulado IME/ITA - Trigonometria Tópico resolvido

[mpdscamp]

Sendo dados que [tex3]\sen a+b=1/2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen a+b=1/2[/tex3]

, [tex3]\cos a-b=1/3 [/tex3]

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[tex3]\cos a-b=1/3 [/tex3]

e [tex3]\cos a+b>0[/tex3]

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[tex3]\cos a+b>0[/tex3]

, qual o valor de [tex3]\ 2[\tan a+\tan b][/tex3]

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[tex3]\ 2[\tan a+\tan b][/tex3]

?

Resposta

---

Gabarito: [tex3]\frac{36\sqrt{3}-2}{23}[/tex3]

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[tex3]\frac{36\sqrt{3}-2}{23}[/tex3]

[MateusQqMD]

Olá, mpdscamp

Da relação fundamental, temos:

[tex3]\sen^2 \( a+b \) + \cos^2 \( a+b\) = 1 \,\, \iff \,\, \(\frac{1}{2} \)^2 + \cos^2 \( a+b\) = 1 \,\, \implies \,\, \cos \( a+b\) = \frac{\sqrt{3}}{2},[/tex3]

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[tex3]\sen^2 \( a+b \) + \cos^2 \( a+b\) = 1 \,\, \iff \,\, \(\frac{1}{2} \)^2 + \cos^2 \( a+b\) = 1 \,\, \implies \,\, \cos \( a+b\) = \frac{\sqrt{3}}{2},[/tex3]

pois é dito que [tex3]\cos \(a+b\) >0.[/tex3]

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[tex3]\cos \(a+b\) >0.[/tex3]

Desenvolvendo [tex3]\ 2\(\tan a+\tan b\), \,[/tex3]

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[tex3]\ 2\(\tan a+\tan b\), \,[/tex3]

temos:

[tex3]2 \( \frac{ \sen a }{ \cos a} + \frac{ \sen b }{ \cos b} \) = 2 \,\,\frac{ \sen a \cos b +sen b\cos a}{ \cos a \cos b} [/tex3]

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[tex3]2 \( \frac{ \sen a }{ \cos a} + \frac{ \sen b }{ \cos b} \) = 2 \,\,\frac{ \sen a \cos b +sen b\cos a}{ \cos a \cos b} [/tex3]

Agora, perceba que [tex3]\sen \(a+b\) = \sen a \cos b + \sen b \cos a, \,[/tex3]

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[tex3]\sen \(a+b\) = \sen a \cos b + \sen b \cos a, \,[/tex3]

logo, o numerador da fração é equivalente a [tex3]1/2.[/tex3]

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[tex3]1/2.[/tex3]

Para terminar o problema, é suficiente somar as seguintes identidades:

[tex3]\cos( a + b) = \cos a \cos b - \sen a \sen b[/tex3]

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[tex3]\cos( a + b) = \cos a \cos b - \sen a \sen b[/tex3]

[tex3]\begin{array}{}\cos( a - b) = \cos a \cos b + \sen a \sen b \\\\



\hline \\

\cos( a + b) + \cos( a - b) = 2\cos a \cos b


\end{array}[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{}\cos( a - b) = \cos a \cos b + \sen a \sen b \\\\



\hline \\

\cos( a + b) + \cos( a - b) = 2\cos a \cos b


\end{array}[/tex3]

Substituindo os valores já encontrados, obtemos:

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{3} = 2\cos a \cos b \,\, \implies \,\, \cos a \cos b = \frac{3\sqrt{3} + 2}{12}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{3} = 2\cos a \cos b \,\, \implies \,\, \cos a \cos b = \frac{3\sqrt{3} + 2}{12}[/tex3]

Portanto,

[tex3]2 \( \frac{ \sen a }{ \cos a} + \frac{ \sen b }{ \cos b} \) = 2 \,\,\frac{ \sen a \cos b +sen b\cos a}{ \cos a \cos b} = 2 \,\, \frac{1/2}{(3\sqrt{3} + 2)/12} = \frac{36\sqrt{3}-2}{23}[/tex3]

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[tex3]2 \( \frac{ \sen a }{ \cos a} + \frac{ \sen b }{ \cos b} \) = 2 \,\,\frac{ \sen a \cos b +sen b\cos a}{ \cos a \cos b} = 2 \,\, \frac{1/2}{(3\sqrt{3} + 2)/12} = \frac{36\sqrt{3}-2}{23}[/tex3]