Ensino Superior ⇒ Grupos e subgrupos em álgebra abstrata Tópico resolvido
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Jun 2017
21
15:04
Grupos e subgrupos em álgebra abstrata
Suponha de em um grupo G todo elemento é seu próprio inverso. Mostre que G é abeliano.
- Cardoso1979
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Jun 2020
03
17:16
Re: Grupos e subgrupos em álgebra abstrata
Observe
Solução:
Supondo o grupo ( G , [tex3]\ast [/tex3] ) , temos que
I - ( x [tex3]\ast [/tex3] y )[tex3]\ast [/tex3] z
= x [tex3]\ast [/tex3] ( y [tex3]\ast [/tex3] z ) ∀x , y , z [tex3]\in [/tex3] G. Portanto , "[tex3]\ast [/tex3] " é associativa.
I I - x [tex3]\ast [/tex3] 1 = 1 [tex3]\ast [/tex3] x = x ∀x [tex3]\in [/tex3] G. Assim , "1" é elemento neutro de G.
I I I - Todo elemento de G é invertível. De fato, dado x [tex3]\in [/tex3] G , sabemos que x [tex3]\ast x^{-1} = x^{-1}\ast [/tex3] x = 1.
IV- "[tex3]\ast [/tex3] " é comutativa, pois x [tex3]\ast y = y\ast x[/tex3] ∀x , y [tex3]\in [/tex3] G.
Como "[tex3]\ast [/tex3] " é associativa , comutativa , existe em G elemento neutro com relação à "[tex3]\ast [/tex3] " e todo x [tex3]\in [/tex3] G é invertível, assim fica mostrado que ( G , [tex3]\ast [/tex3] ) é um grupo abeliano. C.q.m.
Bons estudos!
Solução:
Supondo o grupo ( G , [tex3]\ast [/tex3] ) , temos que
I - ( x [tex3]\ast [/tex3] y )[tex3]\ast [/tex3] z
= x [tex3]\ast [/tex3] ( y [tex3]\ast [/tex3] z ) ∀x , y , z [tex3]\in [/tex3] G. Portanto , "[tex3]\ast [/tex3] " é associativa.
I I - x [tex3]\ast [/tex3] 1 = 1 [tex3]\ast [/tex3] x = x ∀x [tex3]\in [/tex3] G. Assim , "1" é elemento neutro de G.
I I I - Todo elemento de G é invertível. De fato, dado x [tex3]\in [/tex3] G , sabemos que x [tex3]\ast x^{-1} = x^{-1}\ast [/tex3] x = 1.
IV- "[tex3]\ast [/tex3] " é comutativa, pois x [tex3]\ast y = y\ast x[/tex3] ∀x , y [tex3]\in [/tex3] G.
Como "[tex3]\ast [/tex3] " é associativa , comutativa , existe em G elemento neutro com relação à "[tex3]\ast [/tex3] " e todo x [tex3]\in [/tex3] G é invertível, assim fica mostrado que ( G , [tex3]\ast [/tex3] ) é um grupo abeliano. C.q.m.
Bons estudos!
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