Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **bruninha** » 06 Abr 2007, 14:33 · Mensagem não lida por **bruninha** » 06 Abr 2007, 14:33

Determine todos os valores de [tex3]m[/tex3] para os quais a equação

[tex3]\large \frac{mx}{4}\, -\, \frac{x-2}{m} \,=\, 1[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]\large \frac{mx}{4}\, -\, \frac{x-2}{m} \,=\, 1[/tex3]

a) admite uma única solução.
b) não admite solução.
c) admite infinitas soluções.

Mensagem não lidapor **caju** » 06 Abr 2007, 17:32 · Mensagem não lida por **caju** » 06 Abr 2007, 17:32

Olá bruninha,

Vamos isolar o [tex3]x[/tex3] na equação:

[tex3]\frac{mx}{4}-\frac{x-2}{m}=1[/tex3]

[tex3]\frac{m^2x}{4m}-\frac{4x-8}{4m}=\frac{4m}{4m}[/tex3]

[tex3]m^2x-4x+8=4m[/tex3]

[tex3]x\cdot(m^2-4)+8=4m[/tex3]

[tex3]x=\frac{4m-8}{m^2-4}[/tex3]

Agora é só pensar nas perguntas.

Para admitir infinitas soluções, [tex3]x[/tex3] deve ser indeterminado, ou seja, deve ser [tex3]\frac{0}{0}[/tex3] .

Note que [tex3]m=2[/tex3] zera o numerador e [tex3]m=2[/tex3] ou [tex3]m=-2[/tex3] zera o denominador. Portanto, o valor de [tex3]m[/tex3] que zera simultaneamente é [tex3]m=2[/tex3] . Portanto, para admitir infinitas soluções, [tex3]m=2[/tex3] .

Para não ter solução, devemos ter alguma coisa diferente de zero, sobre zero. Note que [tex3]m=-2[/tex3] faz isso, ou seja, zera o denominador mas não zera o numerador. Portanto, para não admitir solução, [tex3]m=-2[/tex3] .

A última coisa a notar é que, na equação do enunciado, m aparece em um denominador, ou seja, [tex3]m[/tex3] não pode ser ZERO nunca.

E todos os outros valores para [tex3]m[/tex3] admitem solução única.

Respostas:

a) [tex3]m\in\Re-\{-2, 0, 2\}[/tex3]

b) [tex3]m=-2[/tex3]

c) [tex3]m=2[/tex3]

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