Ensino Médio ⇒ Geometria plana e semelhança de triângulos Tópico resolvido

[ludwing]

Seja ABCD um quadrado e DEF um triângulo equilátero, ambos de lado x. Traçando-se uma reta que passa por B e E, surgem os pontos H e G, sobre os lados AD e DF, respectivamente. Então, o valor da área do triângulo DGH, em função de x é:

[VALDECIRTOZZI]

Creio que seja essa a solução:
Note que [tex3]\Delta BCE \sim \Delta HDE[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta BCE \sim \Delta HDE[/tex3]

, logo [tex3]HD=\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]HD=\frac{x}{2}[/tex3]

.

Note também que: [tex3]\Delta EGD \cong \Delta EGF[/tex3]

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[tex3]\Delta EGD \cong \Delta EGF[/tex3]

, já que
[tex3]EF \cong EB[/tex3]

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[tex3]EF \cong EB[/tex3]

[tex3]EG[/tex3]

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[tex3]EG[/tex3]

é lado comum
[tex3]\hat D \cong \hat F[/tex3]

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[tex3]\hat D \cong \hat F[/tex3]

Logo [tex3]DG=FG=\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]DG=FG=\frac{x}{2}[/tex3]

O ângulo [tex3]HDE=180°-90°-60°=30°[/tex3]

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[tex3]HDE=180°-90°-60°=30°[/tex3]

Portanto:
[tex3]A_{\Delta HDG}=\frac{1}{2} \cdot HD \cdot DG \cdot \sin 30°=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{x^2}{16}[/tex3]

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[tex3]A_{\Delta HDG}=\frac{1}{2} \cdot HD \cdot DG \cdot \sin 30°=\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{x^2}{16}[/tex3]

Espero ter ajudado!

[ludwing]

achei o gabarito da questão, tá marcado letra A).

[Marcos]

Olá ludwing.Observe a solução:

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[tex3]\triangle_{ABH}\equiv\triangle_{DEH} \ (L\cdot A\cdot A_{0}) \rightarrow DH=\frac{x}{2}[/tex3]

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[tex3]\triangle_{ABH}\equiv\triangle_{DEH} \ (L\cdot A\cdot A_{0}) \rightarrow DH=\frac{x}{2}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
S_{1}+S_{2}=x^2 \\
S_{2}+S+S_{3}=\frac{2x\cdot x}{2}=x^2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
S_{1}+S_{2}=x^2 \\
S_{2}+S+S_{3}=\frac{2x\cdot x}{2}=x^2
\end{cases}[/tex3]

[tex3]S_{1}+S_{2}=S_{2}+S+S_{3}[/tex3]

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[tex3]S_{1}+S_{2}=S_{2}+S+S_{3}[/tex3]

[tex3]S=S_{1}-S_{3}[/tex3]

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[tex3]S=S_{1}-S_{3}[/tex3]

[tex3]S=\frac{x^2}{4}-\frac{x\cdot a\cdot \sen60º}{2} \ \ \ \ (i)[/tex3]

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[tex3]S=\frac{x^2}{4}-\frac{x\cdot a\cdot \sen60º}{2} \ \ \ \ (i)[/tex3]

[tex3]S=\frac{\frac{x}{2}\cdot a\cdot \sen30º}{2}\rightarrow a=\frac{4S}{x\sen30º}\ \ \ \ (ii)[/tex3]

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[tex3]S=\frac{\frac{x}{2}\cdot a\cdot \sen30º}{2}\rightarrow a=\frac{4S}{x\sen30º}\ \ \ \ (ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](ii)[/tex3]

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[tex3](ii)[/tex3]

em [tex3](i)[/tex3]

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[tex3](i)[/tex3]

:

[tex3]S=\frac{x^2}{4}-\frac{x\cdot \frac{4S\cdot \sen60º}{x\cdot \sen30º}}{2}[/tex3]

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[tex3]S=\frac{x^2}{4}-\frac{x\cdot \frac{4S\cdot \sen60º}{x\cdot \sen30º}}{2}[/tex3]

[tex3]S=\frac{x^2}{4}-2\sqrt{3}S[/tex3]

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[tex3]S=\frac{x^2}{4}-2\sqrt{3}S[/tex3]

[tex3]S\left(1+2\sqrt{3}\right)=\frac{x^2}{4}[/tex3]

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[tex3]S\left(1+2\sqrt{3}\right)=\frac{x^2}{4}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{S=\left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44}\right)\cdot x^2}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{S=\left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44}\right)\cdot x^2}}[/tex3]

[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

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[tex3]\blacktriangleright[/tex3]

Então, o valor da área do triângulo [tex3]DGH[/tex3]

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[tex3]DGH[/tex3]

, em função de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

é [tex3]\Rightarrow \boxed{\boxed{S_{DGH}=\left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44}\right)\cdot x^2}} \Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

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[tex3]\Rightarrow \boxed{\boxed{S_{DGH}=\left(\frac{2\sqrt{3}-1}{44}\right)\cdot x^2}} \Longrightarrow Letra:(B)[/tex3]

Portanto a resposta seria a alternativa [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

, acredito que o gabarito esteja equivocado.

Resposta: [tex3]B[/tex3]

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[tex3]B[/tex3]

.

[ludwing]

Muito obrigado, conferi aqui com outras pessoas que encontraram o mesmo resultado, realmente é a letra B). Muito obrigado mais uma vez!

[caju]

Na resolução do VALDECIRTOZZI houve um equívoco ao fazer a semelhança de triângulos entre [tex3]\triangle EGD \cong \triangle EGF[/tex3]

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[tex3]\triangle EGD \cong \triangle EGF[/tex3]

.

Veja que esses dois triângulos possuem ÂNGULO, LADO, LADO iguais, e ALL não é uma condição de semelhança entre dois triângulos.

Grande abraço,
Prof. Caju

[VALDECIRTOZZI]

Grato, prof. Caju! É isso que dá resolver uma questão sem pensar muito!

Valdecir