Pré-Vestibular ⇒ (UNICENTRO - 2014) Geometria Analítica

[magabi2552]

Dados: O diâmetro do semicírculo [tex3]AB = 4\ m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AB = 4\ m[/tex3]

, que [tex3]AO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AO[/tex3]

≡ [tex3]OB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OB[/tex3]

, que o comprimento de cada um dos segmentos [tex3]AC[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]AC[/tex3]

, [tex3]EO[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]EO[/tex3]

, [tex3]OF[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]OF[/tex3]

e [tex3]DB[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]DB[/tex3]

é igual a [tex3]0,2\ m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0,2\ m[/tex3]

.

Sem título.jpg (9.45 KiB) Exibido 1215 vezes

Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a equação da circunferência de centro em [tex3]K[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K[/tex3]

, que passa por [tex3]P(0,\ 2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(0,\ 2)[/tex3]

.

a) [tex3]x^{2}+\(y - \frac{4}{3}\)^{2}=\frac{4}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+\(y - \frac{4}{3}\)^{2}=\frac{4}{9}[/tex3]

b) [tex3]x^{2}+\(y - \frac{3}{4}\)^{2}=\frac{25}{16}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+\(y - \frac{3}{4}\)^{2}=\frac{25}{16}[/tex3]

c) [tex3]x^{2}+\(y - \frac{3}{2}\)^{2}=\frac{1}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+\(y - \frac{3}{2}\)^{2}=\frac{1}{4}[/tex3]

d) [tex3]x^{2}+\(y - \frac{4}{3}\)^{2}=\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+\(y - \frac{4}{3}\)^{2}=\frac{2}{3}[/tex3]

e) [tex3]x^{2}+\(y - \frac{3}{4}\)^{2}=\frac{5}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}+\(y - \frac{3}{4}\)^{2}=\frac{5}{4}[/tex3]

Resposta

---

Resposta: Alternativa A

[ruanchaves]

Para montar a equação da circunferência K, basta encontrarmos as coordenadas do seu centro C e o valor do seu raio.

Visualize o triângulo com vértice em C e lados 1 + r e altura 4 - r.

Logo, existe um centro C(a,b) para K tal que C(a,b) = C(0, 2 - r ).

A altura do triângulo com vértice em C é tangente às duas semicircunferências da borda escura.
Por isso, ali se forma um ângulo de 90º. Provavelmente, esta é a informação que você não sabia ou não lembrou, e que te impediu de resolver o exercício.

Visualize o triângulo retângulo de lados 1, 4 - r ( a altura ) e hipotenusa 1 + r, com vértice em C(0, 2 - r).

Agora é só aplicar o teorema de Pitágoras, fazer os cálculos e chegar no gabarito.

[petras]

magabi2552,

[tex3]\triangle KOI: IK^2 = OI^2+OK^2 \implies (r+1)^2=1^2+(2-r)^2\\
r^2+2r+1 = 1+4-4r+r^2 \implies r = \frac{2}{3}\\
\therefore OK = 2-\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\\
C=(0, \frac{4}{3}):r = \frac{2}{3} \implies \boxed{x^2+(y-\frac{4}{3})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle KOI: IK^2 = OI^2+OK^2 \implies (r+1)^2=1^2+(2-r)^2\\
r^2+2r+1 = 1+4-4r+r^2 \implies r = \frac{2}{3}\\
\therefore OK = 2-\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\\
C=(0, \frac{4}{3}):r = \frac{2}{3} \implies \boxed{x^2+(y-\frac{4}{3})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}}[/tex3]

[cassinhamanu]

magabi2552,

[tex3]\triangle KOI: IK^2 = OI^2+OK^2 \implies (r+1)^2=1^2+(2-r)^2\\
r^2+2r+1 = 1+4-4r+r^2 \implies r = \frac{2}{3}\\
\therefore OK = 2-\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\\
C=(0, \frac{4}{3}):r = \frac{2}{3} \implies \boxed{x^2+(y-\frac{4}{3})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\triangle KOI: IK^2 = OI^2+OK^2 \implies (r+1)^2=1^2+(2-r)^2\\
r^2+2r+1 = 1+4-4r+r^2 \implies r = \frac{2}{3}\\
\therefore OK = 2-\frac{2}{3} = \frac{4}{3}\\
C=(0, \frac{4}{3}):r = \frac{2}{3} \implies \boxed{x^2+(y-\frac{4}{3})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}}[/tex3]

como você encontra (r+1) para o segmento IK? e OK não seria r+1 tbm? PO seria 2-r não?

[petras]

cassinhamanu,

IK = raio da semicircunferência AO(=1) mais o raio r
OK = raio da semicircunferência AB(=2) - KP(=r)

PO seria 2-r não????? PO = raio da semicircunferência AB = 2