Pré-Vestibular

deboranuns · Mensagem não lida por **deboranuns** » 08 Ago 2015, 12:10

Duas circunferências são tangentes aos eixos coordenados: o centro da circunferência menor pertence à circunferência maior. Se o raio da maior é 2 cm, a medida, em centímetros, do raio da menor é:

A) [tex3]\frac{\sqrt2}{2}[/tex3]
B) [tex3]{\sqrt2}-{2}[/tex3]
C) [tex3]{\sqrt2}-{1}[/tex3]
D) [tex3]\frac{3}{5}[/tex3]
E) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Resposta

Alternativa B

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 15 Ago 2015, 13:59

Olá, Débora.

Construindo a figura:

: dc.png (20.92 KiB) Exibido 1732 vezes

Notamos que $\triangle DJF\sim\triangle BFH$ , então:

$\frac{DJ}{DF}=\frac{FH}{BF}$

$\frac{2-r}{2}=\frac{r}{BF}$

$BF=\frac{2r}{2-r}$

Como o triângulo $\triangle BFH$ é retângulo, podemos usar Pitágoras,

$\left(\frac{2r}{2-r}\right)^2=2r^2$

Como $r\neq0$ ,

$(2-r)^2=2$

$|2-r|=\sqrt{2}$

Além disso, $2-r>0$ , pois o raio deve ser menor que da outra circunferência, ou seja, $r<2$ . Então,

$2-r=\sqrt{2}$

$r=2-\sqrt2$

Porém, não é a letra B, pois $\sqrt2-2<0$ , não podendo ser o valor de um raio.

Espero ter ajudado, abraço.

Mensagem não lidapor **poti** » 15 Ago 2015, 16:56 · Mensagem não lida por **poti** » 15 Ago 2015, 16:56

Boa solução, meu desenho estava errado.

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