Calcule a integral usando a coordenadas polares [tex3]\int\limits\int\limits (x+ y )dA[/tex3]
Obs.: Quero saber como eu encontro os intervalos de integração
onde D; [tex3]x^{2}+y^2 -2y \leq 0[/tex3]
Ensino Superior ⇒ Integração em coordenadas polares
- lipemachado
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Mai 2015
09
08:57
Integração em coordenadas polares
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- candre
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Mai 2015
09
14:02
Re: Integração em coordenadas polares
temos que
temos que a região é um circunferência de raio centrado em
podemos fazer a seguinte mudança de coordenadas
podemos ver a região no plano conforme visto figura abaixo
e circunferência e dada por , colocando e obtemos
temos que para já da a circunferência, sendo que descreve toda a região do interior da circunferência incluindo a própria circunferência e obtemos portanto
temos que a região é um circunferência de raio centrado em
pudim
podemos fazer a seguinte mudança de coordenadas
temos que para já da a circunferência, sendo que descreve toda a região do interior da circunferência incluindo a própria circunferência e obtemos portanto
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Mai 2015
09
21:03
Re: Integração em coordenadas polares
Muito Obrigado!!!
Mas por que [tex3]\theta[/tex3] está variando [tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3] ?
Mas por que [tex3]\theta[/tex3] está variando [tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3] ?
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- candre
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Mai 2015
10
15:38
Re: Integração em coordenadas polares
utilizando a figura abaixo para explicar em coordenada polares usamos as coordenadas para representar um ponto, onde e a distancia ate a origem e e o angulo entre o vetor posição e o eixo medido no sentido anti horário.lipemachado escreveu:Muito Obrigado!!!
Mas por que [tex3]\theta[/tex3] está variando [tex3]0 \leq \theta \leq \pi[/tex3] ?
partino para a construção do gráfico, pegamos uma reta orientada com um angulo , e a cada angulo colocamos seu correspondente nela, e fazemos isso para todo os ângulos, como a função seno e periódica então obviamente não pegar todos os valores de em já e suficiente (claro que na pratica ninguém pega infinitos pontos, apenas uma quantidade suficiente para fazer um bom gráfico), observando o gráfico a função em se comporta que nem em só que em vez de ser positiva e negativa.
plotando nosso gráfico, vamos separar em dois casos
para [tex2]0\le\theta\le\pi[/tex2]
começamos com zerado em ,ele vai aumentando ate chegar no seu valor máximo em , depois disso ela vai diminuir ate zerar em , nisso já temos a nossa circunferência (ou nossa região se no processo fossemos colorindo onde a região da reta que esta entre e nosso ponto azul passa).
para [tex2]\pi\le\theta\le2\pi[/tex2]
começamos com zerado em , porem ele vai diminuindo ate chegar no seu valor minimo em , onde o valor e negativo e depois vai aumentando ate zerar em , mas antes que alguém pergunte, sim, esses valores são negativos, mas como plotamos? simples, observe que pegamos uma reta orientada, se fosse por exemplo em um eixo unidimensional, quando o valor e negativo ele estaria no outro lado do centro do eixo, de forma análoga funciona aqui, então nessa região, ao invés de ir plotando esses valores de na direção positiva, plotamos eles na direção negativa (que seria a região tracejada da reta), as se você reparar bem pelo comportamento da função, vai reparar que o que você vai obter e novamente a circunferência, ou seja, em uma volta completa obtemos a mesma circunferência duas vezes, por isso usamos variando de a , pois se usamos variando de a estaremos passando por duas vezes na mesma região, obtendo um valor igual ao dobro do esperado.
Editado pela última vez por candre em 10 Mai 2015, 15:38, em um total de 1 vez.
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