Ensino Médio

Mensagem não lidapor **kiritoITA** » 01 Fev 2015, 01:57 · Mensagem não lida por **kiritoITA** » 01 Fev 2015, 01:57

De quantos modos o número 256 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos?

Resposta

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Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 01 Fev 2015, 10:41 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 01 Fev 2015, 10:41

Ou o gabarito está errado, ou no enunciado deveríamos ter "soluções inteiras não negativas".

$256=2^8=2^x\cdot2^y\ |\ x+y=8$

Do princípio fundamental da contagem, uma equação da forma

$a_1+a_2+a_3+...+a_k=n\in\mathbb{N}$

1)

possui $C_{n}^{n+k-1}$ soluções inteiras não negativas, representadas por ênuplas ordenadas.

$n=8$
$k=2$

Assim,

$C_{8}^{8+2-1}=9$

No entanto, repare que, por exemplo, tanto $(0,8)$ quanto $(8,0)$ são soluções. Descartando as soluções equivalentes, chegamos a $9-4=5$ .

2)

possui $C_{k-1}^{n-1}$ soluções inteiras positivas, representadas por ênuplas ordenadas.

$n=8$
$k=2$

Assim,

$C_{2-1}^{8-1}=7$

No entanto, repare que, por exemplo, tanto $(1,7)$ quanto $(7,1)$ são soluções. Descartando as soluções equivalentes, chegamos a $7-3=4$ .

Hola.

De quantos modos o número [tex3]256[/tex3] pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos?

Fatorando o número [tex3]256[/tex3] , temos: [tex3]2*2*2*2*2*2*2*2[/tex3] , que pode ser representado como [tex3]2^8[/tex3] . Para calcular a quantidade de divisores, basta pegar o expoente e somar com [tex3]1[/tex3] . O expoente é [tex3]8[/tex3] . Somando [tex3]1[/tex3] , temos: [tex3]8 + 1 = 9[/tex3] .

Neste caso, sendo a quantidade de divisores um número ímpar, não podemos ter 4,5 produtos. Considere [tex3]1*256[/tex3] como sendo o mesmo de [tex3]256*1[/tex3] , pois da metade em diante, os produtos serão repetidos em ordem diferentes.
Assim, chegamos a [tex3]5[/tex3] produtos diferentes, que são eles: [tex3]1*256,\/ 2*128,\/ 4*64, \/8*32, \/16*16[/tex3]

Resposta; [tex3]5[/tex3]

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 01 Fev 2015, 21:45 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 01 Fev 2015, 21:45

Revendo o meu desenvolvimento, percebi que cometi um equívoco.

Não há nada de errado em termos $x=0$ ou $y=0$ , afinal $a^0=1,\ a\in\mathbb{R}^*$ , que é um inteiro positivo.

Assim, não há nada de errado com o enunciado e o desenvolvimento (1) é o correto.

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