Ensino Superior

Mensagem não lidapor **Cássio** » 01 Jun 2014, 16:44 · Mensagem não lida por **Cássio** » 01 Jun 2014, 16:44

Calcule $\displaystyle\int\int_B\dfrac{\sqrt[3]{y-x}}{1+x+y},$ onde $B$ é o triângulo de vertices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).

Mensagem não lidapor **Cássio** » 01 Jun 2014, 22:59 · Mensagem não lida por **Cássio** » 01 Jun 2014, 22:59

Certo:

$\int_1^2\int_{1-v}^{v-1}\dfrac{\sqrt[3]u}{2v}dudv=\int_1^2\dfrac{1}{2v}\left[\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4}\right]_{1-v}^{v-1}dv=\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{(1-v)^4}\right) dv \ \\ \ \\ \ \\ =\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{[(-1)(v-1)]^4}\right) dv\ \ \\ \ \\ \ \\ =\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{(v-1)^4}\right)dv=\int_1^20\ dv.$

E aí, como termina?

Mensagem não lidapor **ManUtd** » 02 Jun 2014, 12:54 · Mensagem não lida por **ManUtd** » 02 Jun 2014, 12:54

$\text{primeiro perceba o grafico:}$

: Figura1.png (17.04 KiB) Exibido 486 vezes

$\text{temos que a nossa integral e:}$

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \frac{\sqrt[3]{y-x}}{1+x+y}dydx$

$\text{Facamos a mudanca de variaveis :}$

$\\\\ u=y-x \\\\ v=1+x+y$

$\text{segue imediatamente que:}$

$\\\\ x=\frac{v}{2}-\frac{u}{2}-\frac{1}{2} \\\\ y=\frac{u}{2}+\frac{v}{2}-\frac{1}{2}$

$\text{Jacobiano:}J=\frac{1}{2}$

$\text{agora vamos transformar as retas x=0 , x=1 , y=0 , y=1-x}$

$\text{Entao nossa regiao sera respectivamente : v=1+u , v=3+u , v=1-u , v=2}$

$\text{perceba agora o esboco dessa regiao :}$

: Figura2.png (46.65 KiB) Exibido 486 vezes

$\text{Uma maneira de determinar a integral dupla e:}$

$\int_{1}^{2} \int_{1-v}^{v-1} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dudv$

$\text{ou ainda:}$

$\int_{-1}^{0} \int_{1-u}^{2} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dvdu+\int_{0}^{1} \int_{1+u}^{2} \frac{\sqrt[3]{u}}{2v} dvdu$

Cássio escreveu:Certo:

$\int_1^2\int_{1-v}^{v-1}\dfrac{\sqrt[3]u}{2v}dudv=\int_1^2\dfrac{1}{2v}\left[\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4}\right]_{1-v}^{v-1}dv=\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{(1-v)^4}\right) dv \ \\ \ \\ \ \\ =\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{[(-1)(v-1)]^4}\right) dv\ \ \\ \ \\ \ \\ =\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{(v-1)^4}\right)dv=\int_1^20\ dv.$
Código: Selecionar tudo
[tex3]\int_1^2\int_{1-v}^{v-1}\dfrac{\sqrt[3]u}{2v}dudv=\int_1^2\dfrac{1}{2v}\left[\frac{3}{4}\sqrt[3]{u^4}\right]_{1-v}^{v-1}dv=\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{(1-v)^4}\right) dv \ \\ \ \\ \ \\ =\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{[(-1)(v-1)]^4}\right) dv\ \ \\ \ \\ \ \\ =\int_1^2\dfrac{1}{2v}\cdot \dfrac{3}{4}\left(\sqrt[3]{(v-1)^4}-\sqrt[3]{(v-1)^4}\right)dv=\int_1^20\ dv.[/tex3]

E aí, como termina?

Então a resposta não é zero? vc tem o gabarito?

grande abraço.

Mensagem não lidapor **Cássio** » 02 Jun 2014, 21:21 · Mensagem não lida por **Cássio** » 02 Jun 2014, 21:21

Por mais incrível que pareça, eu não sabia que a integral de constante era zero rsrsrs. Valeu.

Mensagem não lidapor **ManUtd** » 03 Jun 2014, 10:45 · Mensagem não lida por **ManUtd** » 03 Jun 2014, 10:45

Cássio escreveu:Por mais incrível que pareça, eu não sabia que a integral de constante era zero rsrsrs. Valeu.

Olá

Acho que vc quis dizer que integral de zero é zero, pois a integral definida de um número constante nem sempre é zero.

Mensagem não lidapor **Cássio** » 03 Jun 2014, 18:23 · Mensagem não lida por **Cássio** » 03 Jun 2014, 18:23

Sim, a integral de zero. Me confundi.

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