Pré-Vestibular ⇒ (UFTM) Função do 2º grau Tópico resolvido

[Dandarah]

O gráfico da função f(x) = x² - (k+1)x + k, em que k é um número real maior do que 1, intercepta o eixo x nos pontos A e B, e cruza o eixo y no ponto C. Se a área do triângulo ABC é 21, então o valor minimo que a função f assume é
A) -4
B) -9
C) -16
D) -25
E) -36

gab:

Resposta

---

b

[csmarcelo]

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[tex3]\Delta=b^2-4ac=(k+1)^2-4\cdot1\cdot k=(k-1)^2[/tex3]

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área de um triângulo =

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[tex3]\frac{base \times altura}{2}[/tex3]

base do triângulo ABC =

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[tex3]x_B-x_A[/tex3]

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[tex3]x_B-x_A=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{a}=\frac{\sqrt{(k-1)^2}}{1}=k-1[/tex3]

altura do triângulo ABC = c = k

área do triângulo ABC =

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[tex3]\frac{(k-1)\cdot k}{2}=\frac{k^2-k}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{k^2-k}{2}=21\rightarrow k^2-k-42=0\rightarrow\begin{cases}k_1=7\\\cancel{k_2=-6}\end{cases}[/tex3]

valor mínimo de uma função =

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[tex3]-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]

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[tex3]-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{(k-1)^2}{4a}=-\frac{(7-1)^2}{4\cdot1}=-9[/tex3]