Concursos Públicos ⇒ (CFO-PMERJ 2014) Porcentagem

[ALANSILVA]

Luciano pretende comprar um aparelho celular em uma loja que oferece desconto de 30% no preço da etiqueta para as compras à vista, ou se preferir, ele pode parcelar o preço da etiqueta em 3 prestações mensais iguais, sendo que a primeira deve ser paga um mês após a compra. A taxa mensal de juros embutida nessa venda parcelada é igual a, aproximadamente:

a) 30%. c) 20%.
b) 25%. d) 15%.

Resposta

---

Gabarito:C

[fabit]

Se eu chamar a parcela de k, o total pago a prazo é 3k, que é o preço de etiqueta. O preço à vista é 70% de 3k, pois 30% de desconto é sobre o preço 3k.

Construa a tabela (onde já simplifiquei 70% de 3k como 2,1k):
[tex3]\begin{pmatrix}
\text{Saldo devedor} & Antes & PGTO & Depois \\
\text{No ato} & 2,1k & 0 & 2,1k \\
\text{30 dias} & q\times2,1k & k & q\times2,1k-k \\
\text{60 dias} & q\times(q\times2,1k-k) & k & q\times(q\times2,1k-k)-k \\
\text{90 dias} & q\times(q\times(q\times2,1k-k)-k) & k & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
\text{Saldo devedor} & Antes & PGTO & Depois \\
\text{No ato} & 2,1k & 0 & 2,1k \\
\text{30 dias} & q\times2,1k & k & q\times2,1k-k \\
\text{60 dias} & q\times(q\times2,1k-k) & k & q\times(q\times2,1k-k)-k \\
\text{90 dias} & q\times(q\times(q\times2,1k-k)-k) & k & 0 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Então [tex3]2,1kq^3-kq^2-kq-k=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2,1kq^3-kq^2-kq-k=0[/tex3]

. O valor de k pode ser posto em evidência e ignorado em seguida. Sobra uma equação polinomial de grau 3: [tex3]2,1q^3-q^2-q-1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2,1q^3-q^2-q-1=0[/tex3]

, que só tem uma raiz positiva.

Tentei ver se a fórmula da PG (que nesse caso não passa da fatoração em diferença de cubos) ajudava, mas só piorou, pois caiu noutro polinômio de grau 4, embora incompleto.

Enfim, daqui pra frente, é dar uma solução aproximada para a raiz positiva de [tex3]P(q)=2,1q^3-q^2-q-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]P(q)=2,1q^3-q^2-q-1[/tex3]

Pelo gabarito, deve ser algo próximo de 1,20, que é o fator correspondente a 20%.

Se estiver muito puxado pra entender o que fiz acima, grite que eu detalho.

[ALANSILVA]

Não entendi

[fabit]

Então vou arbitrar um valor particular para k, o que não faz mal à generalidade da solução. Em outras palavras, a resposta não depende do valor de k que eu escolher. Digamos que k seja R$100,00. Então o preço de etiqueta do celular é de R$300,00 em 3x de 100,00 (que as lojas dizem ser "sem juros", mas há juros sim porque à vista é mais barato).

Desconto de 30% sobre 300 reais é 90 reais. Você paga à vista 300-90=210.

A linha rotulada "No ato" é o que vc faz à vista. Na coluna "Antes" aparece o que é devido antes do pagamento (coluna "PGTO"). Se nessa hora você pagasse 210, levava o celular à vista. Mas se decidir parcelar, não paga nada à vista e por isso PGTO vale 0. A terceira coluna, cahamada "Depois" é o saldo devedor que remanesce após deduzir o saldo "Antes" do que estiver sendo pago. Logo "Depois"="Antes"-"PGTO". Optando pelo parcelamento, no ato ficamos com 210-0=210.

A partir desse ponto vou trabalhar com o gabarito, fazendo prova real dos 20%. Os 210 do final da linha "No ato" são acrescidos de 20% (isso se faz multiplicando por 1,2) para ficar com o "Antes" da linha "30 dias". 210x1,2=252. Mas em 30 dias o PGTO é a primeira parcela de 100. Aí o "Depois" da linha fica 252-100=152.

Esses 152 vão para o mês seguinte (linha "60 dias", coluna "Antes") acrescidos de 20%. 152x1,2=182,40. Vem a segunda parcela de 100 em PGTO e o "Depois" fica 182,40-100=82,40.

Finalmente, no "90 dias", o "Antes" é obtido multiplicando 82,40 por 1,2, que dá 98,88. Subtraindo o último PGTO de 100 reais, dá -1,12. Essa diferençazinha nos diz que a resposta não é exata. Seria exata se 82,40 vezes 1,2 tivesse batido 100 reais cravados e, com isso, a última linha seria 100-100=0. Mas não foi, e a loja terminou te devendo R$1,12. Os juros embutidos são, portanto, um tiquinho a mais do que 20%.

Mas 25% seria exagero. Vejamos, de modo mais rápido:
Ato: 210 0 210-0=210.
30 dias: 210x1,25=262,50 100 262,50-100=162,50.
60 dias: 162,50x1,25=203,125 100 203,125-100=103,125 (já é mais do que 100, já estourou, mas insistamos...)
90 dias: 103,125x1,25=128,90625 100 128,90625-100=28,90 aproximadamente. Aqui vc termina devendo R$28,90 à loja.

Por tentativa e erro, o que se fez acima foi achar a raiz do polinômio P(q) de grau 3. E a solução positiva de [tex3]210q^3-100q^2-100q-100=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]210q^3-100q^2-100q-100=0[/tex3]

está ligeiramente acima de 1,2 (opção C), mas bem abaixo de 1,25 (opção B). Por isso é que o gabarito é C.

Matemática financeira avançadinha demais pra CFO-PM. É ruim botar questão assim porque premia o chute sortudo.