Ensino Médio

Mensagem não lidapor **MJ14** » 19 Mai 2014, 17:06 · Mensagem não lida por **MJ14** » 19 Mai 2014, 17:06

Cinco bolas de cores diferentes devem ser postas em três caixas de tamanhos distintos. Em cada caixa, cabem no máximo cinco bolas. De quantas maneiras as bolas podem ser distribuídas de modo que não haja caixa vazia?

(A) 50.
(B) 100.
(C) 150.
(D) 200.
(E) 250.

Mensagem não lidapor **PedroCunha** » 20 Mai 2014, 10:24 · Mensagem não lida por **PedroCunha** » 20 Mai 2014, 10:24

Olá, Mariana.

Como não pode existir caixas vazias, cada caixa pode ter, no máximo, 3 bolas.

Sejas as bolas $A,B,C,D,E$ e as caixas $1,2,3$ . Temos:

Caixa 1 com três bolas: $C_{5,3}$ (bolas distintas) ;
Caixa 2 com uma bola: $2$ (5 bolas - 3 bolas da caixa 1) ;
Caixa 3 com uma bola: $1$ ;
Total: $C_{5,3} \cdot 2 = 20$ .

Caixa 1 com uma bola: $2$ ;
Caixa 2 com três bolas: $C_{5,3}$ ;
Caixa 3 com uma bola: $1$ ;
Total: $C_{5,3} \cdot 2 = 20$ .

Caixa 1 com uma bola: $1$ ;
Caixa 2 com uma bola: $2$ ;
Caixa 3 com três bola: $C_{5,3}$ ;
Total: $C_{5,3} \cdot 2 = 20$ .

Caixa 1 com duas bolas: $C_{5,2}$ (bolas distintas) ;
Caixa 2 com duas bolas: $C_{3,2}$ ;
Caixa 3 com uma bola: $1$ ;
Total: $C_{5,2} \cdot C_{3,2} = 30$ .

Caixa 1 com duas bolas: $C_{5,2}$ (bolas distintas) ;
Caixa 2 com uma bolas: $1$ ;
Caixa 3 com duas bola: $C_{3.2}$ ;
Total: $C_{5,2} \cdot C_{3,2} = 30$ .

Caixa 1 com uma bola: $1$ (bolas distintas) ;
Caixa 2 com duas bolas: $C_{3,2}$ ;
Caixa 3 com duas bola: $C_{5,2}$ ;
Total: $C_{5,2} \cdot C_{3,2} = 30$ .

Somando, 150 maneiras.

Você tem o gabarito? Não confio muito em mim quando se trata de probabilidade.

Abraços,
Pedro

Mensagem não lidapor **MJ14** » 20 Mai 2014, 20:30 · Mensagem não lida por **MJ14** » 20 Mai 2014, 20:30

Olá Pedro,
Infelizmente não tenho o gabarito, mas acredito que sua solução esteja certa. Eu pensei da mesma forma porém não consegui desenvolver uma solução.
Obrigada mais uma vez.

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