Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Juniorhw** » 04 Ago 2013, 16:04 · Mensagem não lida por **Juniorhw** » 04 Ago 2013, 16:04

Exprimir mediante fatorial a expressão $1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)$ .

Resposta

$\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}$

Mensagem não lidapor **poti** » 04 Ago 2013, 16:17 · Mensagem não lida por **poti** » 04 Ago 2013, 16:17

Para aparecer o fatorial, precisamos multiplicar pelos pares que faltam na expressão:

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) = \frac{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n) \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1))}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n} =\frac{(2n)!}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n}$

Perceba que:

$2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 3) ... \cdot (2 \cdot n)$

O $2$ é multiplicado $n$ vezes e os outros fatores formam o próprio fatorial:

$2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ... \cdot 2n = 2^n \cdot n!$

Portanto:

$\boxed{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}}$

O truque foi multiplicar a expressão em cima e embaixo pela mesma coisa, pois $a = \frac{k}{k} \cdot a$ . Nesse caso, $k = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot ...$

Abraço!

Mensagem não lidapor **jrneliodias** » 04 Ago 2013, 16:26

Olá, Juniorhw.

$1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)\,\,=\,\,\frac{[1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)]\cdot [2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2n]}{[2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2n]}$

$\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot(2n-1)\cdot 2n}{\left[2\cdot (2\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)\cdot ...\cdot 2n\right]}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot(2n-1)\cdot 2n}{\underbrace{[2\cdot 2\cdot 2\cdot ...\cdot 2]}_{n\,\,vezes}\cdot [1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n]}$

Pela definição de fatorial:

$\boxed{\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}}$

Espero ter ajudado, abraço.

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