Dois colecionadores de selos têm, juntos, 500 selos. Cada colecionador comprou um álbum para colocar seus selos. Os dois álbuns eram idênticos, tendo o mesmo número de páginas.
Se o primeiro colecionador colocar exatamente 21 selos em cada página, ele vai conseguir colocar todos os seus selos e usar todas as páginas do álbum.
Se o segundo colecionador colocar 20 de seus selos em cada página do álbum, sobrarão alguns selos. Caso ele coloque 23 selos em cada página, sobra pelo menos uma, totalmente vazia, podendo haver ainda uma outra página com menos de 23 selos.
Quantas páginas há no álbum?
Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau
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paulo testoni
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Eduardo
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Dez 2006
01
05:31
Re: (FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau
Aí vai a resposta.
[tex3]x + y = 500[/tex3] (I)
[tex3]x = 21k[/tex3] (II)
[tex3]y = 20k + a[/tex3] [tex3](a > 0)[/tex3] (III)
[tex3]y = 23(k-b) + c[/tex3] [tex3](1 \leq b \leq k,\, 0 < c < 23)[/tex3] (IV)
[tex3]41k + a = 500[/tex3]
[tex3]a = 500 - 41k[/tex3]
[tex3]a > 0 ;\, 500 - 41k > 0 ;\, k < 500/41 ;\, k \leq 12[/tex3]
[tex3]44k - 23b + c = 500[/tex3]
[tex3]0 \leq 500 - 44k + 23b \leq 23[/tex3] (V)
Primeira parte da inequação V
[tex3]500 - 44k + 23b \leq 23[/tex3]
[tex3]44k \geq 477 + 23b[/tex3]
para [tex3]b = 1 ;\, k > 11[/tex3]
para [tex3]b = 2 ;\, k > 11[/tex3]
para [tex3]b > 2 ;\, k > 12[/tex3] (impossível)
Segunda parte da inequação V
[tex3]0\leq 500 - 44k + 23b[/tex3]
[tex3]44k \leq (500+23b)[/tex3]
para [tex3]b = 1 ;\, k\leq 11[/tex3] (impossível)
para [tex3]b = 2;[/tex3] [tex3]k \leq 12[/tex3]
Portanto:
[tex3]k = 12[/tex3]
[tex3]x + y = 500[/tex3] (I)
[tex3]x = 21k[/tex3] (II)
[tex3]y = 20k + a[/tex3] [tex3](a > 0)[/tex3] (III)
[tex3]y = 23(k-b) + c[/tex3] [tex3](1 \leq b \leq k,\, 0 < c < 23)[/tex3] (IV)
[tex3]41k + a = 500[/tex3]
[tex3]a = 500 - 41k[/tex3]
[tex3]a > 0 ;\, 500 - 41k > 0 ;\, k < 500/41 ;\, k \leq 12[/tex3]
[tex3]44k - 23b + c = 500[/tex3]
[tex3]0 \leq 500 - 44k + 23b \leq 23[/tex3] (V)
Primeira parte da inequação V
[tex3]500 - 44k + 23b \leq 23[/tex3]
[tex3]44k \geq 477 + 23b[/tex3]
para [tex3]b = 1 ;\, k > 11[/tex3]
para [tex3]b = 2 ;\, k > 11[/tex3]
para [tex3]b > 2 ;\, k > 12[/tex3] (impossível)
Segunda parte da inequação V
[tex3]0\leq 500 - 44k + 23b[/tex3]
[tex3]44k \leq (500+23b)[/tex3]
para [tex3]b = 1 ;\, k\leq 11[/tex3] (impossível)
para [tex3]b = 2;[/tex3] [tex3]k \leq 12[/tex3]
Portanto:
[tex3]k = 12[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 08 Nov 2019, 11:23, em um total de 7 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
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Eduardo
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Dez 2006
01
05:38
Re: (FUVEST - 2000) Inequações do 1° Grau
Segue a explicação:
[tex3]x =[/tex3] número de selos de quem usou [tex3]20[/tex3] por página
[tex3]y =[/tex3] número de selos do outro
[tex3]x + y = 500[/tex3]
[tex3]k[/tex3] número de páginas
[tex3]x = 21k[/tex3]
[tex3]a =[/tex3] número de selos que sobram da primeira vez [tex3]( a > 0 )[/tex3]
[tex3]y = 20k + a[/tex3]
[tex3]b =[/tex3] número de paginas que nao se usaram por completo (pelo menos [tex3]1[/tex3] ) [tex3](b \geq 1)[/tex3]
[tex3]c =[/tex3] número de selos que sobraram na folha [tex3](0 < c < 23)[/tex3]
[tex3]y = 23(k - b) + c[/tex3]
para a resposta achada:
se [tex3]k = 12[/tex3]
[tex3]x = 21\cdot 12 = 252 ;[/tex3] [tex3]y = 248[/tex3]
[tex3]20 \cdot 12 + a = 248 ;[/tex3] [tex3]a = 8[/tex3]
[tex3]b = 2[/tex3] (como visto anteriormente)
[tex3]23 \cdot (12-2) + c = 248 ;[/tex3] [tex3]c = 18[/tex3]
resposta correta
[tex3]x =[/tex3] número de selos de quem usou [tex3]20[/tex3] por página
[tex3]y =[/tex3] número de selos do outro
[tex3]x + y = 500[/tex3]
[tex3]k[/tex3] número de páginas
[tex3]x = 21k[/tex3]
[tex3]a =[/tex3] número de selos que sobram da primeira vez [tex3]( a > 0 )[/tex3]
[tex3]y = 20k + a[/tex3]
[tex3]b =[/tex3] número de paginas que nao se usaram por completo (pelo menos [tex3]1[/tex3] ) [tex3](b \geq 1)[/tex3]
[tex3]c =[/tex3] número de selos que sobraram na folha [tex3](0 < c < 23)[/tex3]
[tex3]y = 23(k - b) + c[/tex3]
para a resposta achada:
se [tex3]k = 12[/tex3]
[tex3]x = 21\cdot 12 = 252 ;[/tex3] [tex3]y = 248[/tex3]
[tex3]20 \cdot 12 + a = 248 ;[/tex3] [tex3]a = 8[/tex3]
[tex3]b = 2[/tex3] (como visto anteriormente)
[tex3]23 \cdot (12-2) + c = 248 ;[/tex3] [tex3]c = 18[/tex3]
resposta correta
Editado pela última vez por caju em 08 Nov 2019, 11:24, em um total de 4 vezes.
Razão: tex --> tex3
Razão: tex --> tex3
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