Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Marcovsky** » 06 Mar 2012, 09:28 · Mensagem não lida por **Marcovsky** » 06 Mar 2012, 09:28

Olá pessoal do fórum, esse problema vem me causando algumas dores de cabeça.

Encontre o ângulo â, sabendo que o triângulo ABC é isósceles (com AB = AC), BÂC = 20º e AD = BC.

Mensagem não lidapor **Marcovsky** » 07 Mar 2012, 11:11 · Mensagem não lida por **Marcovsky** » 07 Mar 2012, 11:11

Esqueci de colocar o Gabarito

.

Resposta

30º

Mensagem não lidapor **poti** » 07 Mar 2012, 13:19 · Mensagem não lida por **poti** » 07 Mar 2012, 13:19

Estou curioso, não consegui resolver essa questão e ela não parece difícil. Algúem ?

Mensagem não lidapor **caju** » 07 Mar 2012, 22:46 · Mensagem não lida por **caju** » 07 Mar 2012, 22:46

Olá Marcovsky,

Vamos desenhar alguns traços auxiliares (os ângulos foram calculados fazendo-se a soma igual a 180):

: Screen Shot 2012-03-07 at 22.29.05.png (21.75 KiB) Exibido 8890 vezes

[tex3]BE[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\widehat{ABC}[/tex3] , e [tex3]FE[/tex3] é bissetriz de [tex3]\widehat{BEA}[/tex3]

Note que os triângulos [tex3]BEF[/tex3] e [tex3]BEC[/tex3] são idênticos (ângulos iguais e um dos lados comum a ambos (BE) ). Portanto, [tex3]FE=EC[/tex3] e [tex3]\boxed{BC=FB=X}[/tex3] .

Agora vamos colocar um ponto [tex3]G[/tex3] em [tex3]AC[/tex3] tal que [tex3]\widehat{GFE}=80^{\circ}[/tex3] :

: Screen Shot 2012-03-07 at 22.12.13.png (22.84 KiB) Exibido 8890 vezes

Nesse momento existem duas propriedades nesse desenho que devem ser vistas juntamente:

1) Os triângulos [tex3]GFE[/tex3] e [tex3]BFE[/tex3] são idênticos (ângulos iguais e um dos lados comum a ambos). Isso implica que [tex3]FG=FB[/tex3] , mas [tex3]FB=X[/tex3] , portanto [tex3]\boxed{FG=X}[/tex3] .
2) Se [tex3]\widehat{GFE}=80^{\circ}\,\,\rightarrow \,\,\widehat{AFG}=20^{\circ}[/tex3] e isso nos indica que o triângulo [tex3]AFG[/tex3] é isósceles com [tex3]FG=AG=X[/tex3] . Mas [tex3]AD=X[/tex3] , então [tex3]G=D\,\,\rightarrow \,\,DF=X[/tex3] .

Com estas deduções, temos a seguinte figura:

: Screen Shot 2012-03-07 at 23.01.08.png (23.6 KiB) Exibido 8888 vezes

Agora podemos concluir, com clareza, que os triângulos [tex3]DFE[/tex3] e [tex3]BFE[/tex3] são idênticos. E, com isso, [tex3]BE=ED[/tex3] e o triângulo [tex3]EBD[/tex3] é isósceles. Assim, o ângulo [tex3]\widehat{DBE}=\widehat{EDB}=\frac{180-120}{2}=\boxed{\boxed{30^\circ}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

08 Mar 2012, 15:21

Pensei muito nesse exercício ontem e vou postar minha solução apesar de muito longa para compartilhar a vocês.

Seja [tex3]BC=AD=x[/tex3] e [tex3]AB=AC=y[/tex3] .
Como o triângulo é isósceles, os outros ângulos valem 80º.

[tex3]\frac{x}{\sen 20} = \frac{y}{\sen 80}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{2\sen 10 \cdot \cos 10} = \frac{y}{\cos 10}[/tex3]
[tex3]x = 2y \sen 10[/tex3]

Regra dos \sen os no triângulo BCD:
[tex3]\frac{x}{\sen a} = \frac{y-x}{\sen (180 - (80+a))}[/tex3]
[tex3]\frac{x}{\sen a} = \frac{y-x}{\sen (80+a)}[/tex3]
[tex3]x \cdot \sen (80+a) = y \cdot \sen a - x \cdot \sen a[/tex3]
[tex3]2y \sen 10 \cdot \sen (80+a) = y \cdot \sen a - 2y \sen 10 \cdot \sen a[/tex3]
[tex3]2\sen 10 \cdot \sen (80+a) = \sen a - 2 \cdot \sen 10 \cdot \sen a[/tex3]
[tex3]2\sen 10 \cdot (\sen 80 \cdot \cos a + \sen a \cdot \cos 80) = \sen a - 2\sen 10 \cdot \sen a[/tex3]
[tex3]2\sen 10 \cdot \cos 10 \cdot \cos a + 2\sen 10 \cdot \sen 10 \cdot \sen a = \sen a - 2 \cdot \sen 10 \cdot \sen a[/tex3]
[tex3]\sen 20 \cdot \cos a = \sen a(1 - 2\sen 10 - 2\sen ^2 10)[/tex3]
[tex3]tga = \frac{\sen 20}{1 - 2\sen 10 - 2\sen ^2 10)}[/tex3]

Trabalhando com o denominador do lado direito da equação:
[tex3]1 - 2\sen 10 - 2\sen ^2 10) = (1-2\sen ^2 10) - 2 \sen 10 \cdot \sen 90 = \cos 20 + \cos 100-\cos 80[/tex3]

Mas há uma relação trigonométrica que diz: [tex3]\cos 80 = \cos 20-\cos 40[/tex3] .

Então,
[tex3]\cos 20 + \cos 100- (\cos 20 + \cos 40) = \cos 100 + \cos 40 = 2 \cos 70 \cdot \cos 30[/tex3] . Mas, [tex3]\cos 70 = \sen 20[/tex3] , logo temos:

[tex3]tga = \frac{\sen 20}{2\sen 20 \cdot \cos 30} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\boxed{a = 30^{\circ}}[/tex3]

Relações:
[tex3]\sen (x+y) = \sen x \cdot \cos y + \sen y \cdot \cos x[/tex3]
[tex3]\cos x + \cos y = 2 \cdot \cos \,\frac{x+y}{2} \cdot \cos \,\frac{x-y}{2}[/tex3]
[tex3]\cos x - \cos y = -2\sen \frac{x+y}{2} \cdot \sen \frac{x-y}{2}[/tex3]
[tex3]\cos (2x) = \cos ^2 x - \sen ^2 x = (1 - \sen ^2 x) - \sen ^2 x = 1 - 2\sen ^2 x[/tex3]

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 08 Mar 2012, 15:47 · 08 Mar 2012, 15:47

theblackmamba escreveu: Trabalhando com o denominador do lado direito da equação:
[tex3]1 - 2\sen10 - 2\sen^2 10) = (1-2\sen10^{\circ}) - 2 \sen10 \cdot \sen90 = \cos20 + \cos100-\cos80[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]1 - 2\sen10 - 2\sen^2 10) = (1-2\sen10^{\circ}) - 2 \sen10 \cdot \sen90 = \cos20 + \cos100-\cos80[/tex3]

Olá, Theblackmamba!

Eu não entendi porque você igualou [tex3]- 2\sen^2 10 \, = \, - 2 \sen10 \cdot \sen90[/tex3] .

Poderia explicar melhor?

Um abraço!

08 Mar 2012, 16:09

theblackmamba escreveu: Trabalhando com o denominador do lado direito da equação:
[tex3]1 - 2\sen 10 - 2\sen ^2 10) = (1-2\sen 10^{\circ}) - 2 \sen 10 \cdot \sen 90 = \cos 20 + \cos 100-\cos 80[/tex3]
Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM
[tex3]1 - 2\sen 10 - 2\sen ^2 10) = (1-2\sen 10^{\circ}) - 2 \sen 10 \cdot \sen 90 = \cos 20 + \cos 100-\cos 80[/tex3]

Olá emanuel,

Desculpe, esqueci de levar o termo ao quadrado. O certo é:

[tex3]1 - 2\sen 10 - 2\sen ^2 10 = (1 - 2\sen ^2 10) - 2\sen 10 \cdot 1 = \cos 20 - 2\sen 10 \cdot \sen 90[/tex3]

Obrigado. Grande abraço.

Mensagem não lidapor **emanuel9393** » 08 Mar 2012, 16:14 · 08 Mar 2012, 16:14

Agora sim, entendi.

Genial a sua resolução, Theblackmamba!

Mensagem não lidapor **caju** » 08 Mar 2012, 17:40 · Mensagem não lida por **caju** » 08 Mar 2012, 17:40

Olá theblackmamba,

Muito legal esta sua resolução algébrica, parabéns!!!

Você já fez a demonstração da identidade trigonométrica utilizada? Se sim, compartilhe conosco... caso contrário, lançamos o desafio neste tópico mesmo!

Em uma prova dissertativa ela deveria ser mencionada.

Grande abraço,
Prof. Caju

08 Mar 2012, 17:52

Olá Profº Caju,

[tex3]\cos 80º = \cos 20º-\cos 40º[/tex3]
[tex3]\cos 80º + \cos 40º = \cos 20º[/tex3]

[tex3]LE = 2\cos \,\frac{120º}{2} \cdot \cos \,\frac{40º}{2}[/tex3]
[tex3]LE = 2\cos 60º \cdot \cos 20º = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20º = \cos 20º = LD[/tex3] CQD.

LE = lado esquerdo da equação
LD = lado direito da equação

É desta maneira que demonstraria a identidade ?

Abraço.

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