Pré-Vestibular

Mensagem não lidapor **ALDRIN** » 26 Jun 2010, 13:53 · Mensagem não lida por **ALDRIN** » 26 Jun 2010, 13:53

A figura abaixo ilustra uma circunferência dividida em regiões por três arcos de [tex3]120^\circ[/tex3] de circunferências de mesmo raio que a anterior. A região hachurada pode ser dividida em partes que podem ser acopladas de maneira a formar um retângulo. Se a circunferência tem raio [tex3]30[/tex3] , qual o comprimento de um menor lado do retângulo?

: CIRC.JPG (8.11 KiB) Exibido 1039 vezes

Mensagem não lidapor **poti** » 26 Jun 2010, 19:03 · Mensagem não lida por **poti** » 26 Jun 2010, 19:03

A base do retângulo vai ter o mesmo tamanho da corda exposta no primeiro desenho pois a região delimitada pelo arco (semicirculo) é a primeira figura que foi transferida para o retângulo. Neste caso, lei dos cossenos pra descobrir o tamanho da corda:

: CIRC.JPG (9.68 KiB) Exibido 1034 vezes

[tex3]X^2 = 900 + 900 - 2.30.30.cos(120)[/tex3]

[tex3]X^2 = 2700[/tex3]

[tex3]X = 30\sqrt{3} = 51[/tex3]

Pela figura não parece ser o menor lado, mas teremos de provar isso. A altura do retângulo vai ser o "raio" do semicirculo + o raio da figura. Ilustrando fica melhor pra ver:

: CIRC2.JPG (10 KiB) Exibido 1034 vezes

Por pitagoras descobriremos o Y:

[tex3]30^2 = Y^2 + (15\sqrt{3})^2[/tex3]

[tex3]900 - 675 = Y^2[/tex3]

[tex3]Y = \sqrt{225} = 15[/tex3]

Pela figura fica claro que o Z vale 30, pois é o próprio raio. A altura vai ficar assim:

[tex3]Z + (30 - Y)[/tex3]

[tex3]30 + 30 - 15[/tex3]

[tex3]45[/tex3]

Temos então um retângulo de lados:
[tex3]45[/tex3] e [tex3]51[/tex3]

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