IME/ITA ⇒ Forças Tópico resolvido

[ASPIRANTE23]

A figura mostra uma barra rígida, uniforme e homogênea, com comprimento de [tex3]70 cm[/tex3]

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[tex3]70 cm[/tex3]

. A barra se encontra parcialmente inserida em uma cavidade semiesférica perfeitamente lisa, de raio igual a[tex3] 50 cm.[/tex3]

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[tex3] 50 cm.[/tex3]

Para que a barra permaneça em equilíbrio, o valor do ângulo[tex3] 𝜙[/tex3]

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[tex3] 𝜙[/tex3]

é igual a:

Adote[tex3] cos(53°) = 0,6.[/tex3]

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[tex3] cos(53°) = 0,6.[/tex3]

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Resposta

---

37 GRAUS

[παθμ]

ASPIRANTE23, com o teorema das 3 forças você transforma isso num problema de geometria:

O ponto C é o centro da barra.

Sendo [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

o comprimento da barra que está dentro da cavidade, temos [tex3]l=2R \cos(\phi).[/tex3]

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[tex3]l=2R \cos(\phi).[/tex3]

Sendo [tex3]L=70 \; \text{cm}[/tex3]

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[tex3]L=70 \; \text{cm}[/tex3]

o comprimento da barra, [tex3]x=l-\frac{L}{2}.[/tex3]

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[tex3]x=l-\frac{L}{2}.[/tex3]

Pelo triângulo retângulo com catetos x e y:

[tex3]\tan(\phi)=\frac{x}{y} \Rightarrow y=\frac{2R \cos(\phi)-\frac{L}{2}}{\tan(\phi)}.[/tex3]

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[tex3]\tan(\phi)=\frac{x}{y} \Rightarrow y=\frac{2R \cos(\phi)-\frac{L}{2}}{\tan(\phi)}.[/tex3]

Temos [tex3]\theta +2\phi+90 \degree = 180 \degree \Rightarrow \theta + \phi = 90 \degree - \phi.[/tex3]

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[tex3]\theta +2\phi+90 \degree = 180 \degree \Rightarrow \theta + \phi = 90 \degree - \phi.[/tex3]

Pelo triângulo retângulo com catetos [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

e [tex3]y:[/tex3]

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[tex3]y:[/tex3]

[tex3]\tan(\theta+\phi)=\frac{1}{\tan(\phi)}=\frac{l}{y} \Rightarrow 20 \sin(\phi) \tan(\phi)=20 \cos(\phi)-7 \Rightarrow 20 \sin^2(\phi)=20 \cos^2(\phi)-7 \cos(\phi) \Rightarrow 40\cos^2(\phi)-7\cos(\phi)-20=0.[/tex3]

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[tex3]\tan(\theta+\phi)=\frac{1}{\tan(\phi)}=\frac{l}{y} \Rightarrow 20 \sin(\phi) \tan(\phi)=20 \cos(\phi)-7 \Rightarrow 20 \sin^2(\phi)=20 \cos^2(\phi)-7 \cos(\phi) \Rightarrow 40\cos^2(\phi)-7\cos(\phi)-20=0.[/tex3]

Descartando a raíz negativa, obtemos [tex3]\cos(\phi)=\frac{4}{5} \Rightarrow \sin(\phi)=\frac{3}{5}=\cos(53 \degree) \Rightarrow \phi = 90 \degree - 53 \degree = \boxed{37 \degree}[/tex3]

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[tex3]\cos(\phi)=\frac{4}{5} \Rightarrow \sin(\phi)=\frac{3}{5}=\cos(53 \degree) \Rightarrow \phi = 90 \degree - 53 \degree = \boxed{37 \degree}[/tex3]

[joaovitor]

@παθμ

Excelente resolução! Vou apenas fazer uma observação que notei. Acontece que, pros valores fornecidos, a situação do problema é impossível de ocorrer. Veja:

Se os valores realmente fossem esses, o ponto de contato da barra com a superfície semiesférica mudaria, afetando a resolução da questão. Até mesmo o centro da gravidade da barra mudaria.

Ainda assim, o exercício é muito bom.

Se fosse uma questão de concurso, algo assim, seria anulada com certeza. O que acredito que ocorreu, foi: a pessoa montou o exercício pra um caso geral, depois escolheu valores arbitrários pra R e L, mas esqueceu de verificar a condição de existência supracitada.

[παθμ]

joaovitor, bem observado. Então a barra só pode ficar em equilíbrio na horizontal (ficando ela completamente dentro da tigela).