Teoria dos Números
Enviado: 11 Abr 2024, 11:32
Prove que se [tex3](x,y,z)[/tex3] é uma terna pitagórica, então [tex3]x[/tex3] ou [tex3]y[/tex3] é múltiplo de [tex3]3[/tex3].
[tex3]z^2 = x^2+y^2[/tex3]
suponha que [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
não seja múltiplos de [tex3]3[/tex3]
, isso implica que [tex3]x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \mod 3[/tex3]
logo [tex3]z^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \mod 3[/tex3]
absurdo, pois nenhum quadrado perfeito é [tex3]2 \mod 3[/tex3]
.
Logo, ao menos um entre [tex3]x[/tex3]
e [tex3]y[/tex3]
é divisível por [tex3]3[/tex3]
.
Se ambos forem divisíveis por 3, seu mdc não será 1 e portanto poderemos dividir x,y e z por 3 e obtermos uma tripla pitagórica verdadeira (primitiva).
Logo, ou x ou y é divisível por 3 mas não ambos ao mesmo tempo.