Sejam n e r números inteiros positivos em que 1<= r <= n-1 prove que:
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
Ensino Superior ⇒ Análise Combinatória
Abr 2024
11
23:02
Re: Análise Combinatória
[tex3]C^{r-1}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}[/tex3]
[tex3]C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}[/tex3]
Somando as duas expressões, temos:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}+\frac{(n-1)!}{r(r-1)!(n-r-1)!}[/tex3]
Agora, vamos encontrar um denominador comum:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{r(n-1)!+(n-r)(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!(\cancel r+n-\cancel r)}{r!(n-r)!}=\frac{(n-1)!n}{r!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r!)}=C^r_n[/tex3]
[tex3]C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}[/tex3]
Somando as duas expressões, temos:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}+\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}+\frac{(n-1)!}{r(r-1)!(n-r-1)!}[/tex3]
Agora, vamos encontrar um denominador comum:
[tex3]C^{r-1}_{n-1}+C^{r}_{n-1}=\frac{r(n-1)!+(n-r)(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}=\frac{(n-1)!(\cancel r+n-\cancel r)}{r!(n-r)!}=\frac{(n-1)!n}{r!(n-r)!}=\frac{n!}{r!(n-r!)}=C^r_n[/tex3]
-
- Tópicos Semelhantes
- Resp.
- Exibições
- Últ. msg
-
- 1 Resp.
- 3031 Exibições
-
Últ. msg por paulo testoni
-
- 9 Resp.
- 1304 Exibições
-
Últ. msg por paulo testoni
-
- 2 Resp.
- 983 Exibições
-
Últ. msg por TarekVilela
-
- 2 Resp.
- 3678 Exibições
-
Últ. msg por Benji
-
- 8 Resp.
- 11804 Exibições
-
Últ. msg por riobaldo