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Quatro hastes cilíndricas de metal são soldadas como mostra a figura a seguir: As áreas transversais são iguais. As condutividades térmicas das barras 1, 2, 3 e 4 valem, respectivamente K,1, K2, K3 e K4. Os comprimentos das barras 1, 2, 3 e 4 valem, respectivamente L1, L2, L3 e L4, sendo esses comprimentos, nessa ordem, elementos de uma progressão aritmética de elemento inicial L = L e razão L. As pontas das barras estão em contato com fontes térmicas cujas temperaturas são mostradas na figura. Após um longo tempo, a temperatura da junção das barras tenderá corretamente para qual valor? Considere as fontes térmicas com capacidades térmicas infinitas.

gouy, a junção permanece com temperatura constante se não houver calor resultante entrando ou saindo dela.

[tex3]L_1=L, \; \; L_2=2L, \; \; L_3=3L, \; \; L_4=4L.[/tex3]

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[tex3]L_1=L, \; \; L_2=2L, \; \; L_3=3L, \; \; L_4=4L.[/tex3]

O fluxo total de calor entrando na junção é [tex3]\phi=\frac{A}{L}\left(k_1(20-T)+\frac{k_2(100-T)}{2}+\frac{k_3(100-T)}{3}+\frac{k_4(20-T)}{4}\right),[/tex3]

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[tex3]\phi=\frac{A}{L}\left(k_1(20-T)+\frac{k_2(100-T)}{2}+\frac{k_3(100-T)}{3}+\frac{k_4(20-T)}{4}\right),[/tex3]

sendo T sua temperatura.

A soma acima deve ser zero: [tex3]k_1(20-T)+\frac{k_2(100-T)}{2}+\frac{k_3(100-T)}{3}+\frac{k_4(20-T)}{4}=0 \Longrightarrow \boxed{T=\frac{20(12k_1+30k_2+20k_3+3k_4)}{12k_1+6k_2+4k_3+3k_4}}[/tex3]

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[tex3]k_1(20-T)+\frac{k_2(100-T)}{2}+\frac{k_3(100-T)}{3}+\frac{k_4(20-T)}{4}=0 \Longrightarrow \boxed{T=\frac{20(12k_1+30k_2+20k_3+3k_4)}{12k_1+6k_2+4k_3+3k_4}}[/tex3]